Richiesta di salvataggio
salve! è la prima volta che scrivo ad un forum per chiedere un chiarimento su un argomento di mat. e ho deciso di scegliere questo perchè mi è sembrato il più efficiente. il mio problema sono i problemi di geometria analitica con discussione di secondo grado di sistemi parametrici. non è la geom. ana. ad essere il problema ma a volte dei piccoli passaggi per costituire il sistema da discutere mi fanno cadere. ho qui dei problemi da sottoporvi.....spero che voi abbiate la gentilezza di aiutarmi, tante grazie.
problema:
data l'equaz. di parabola y=-x^2-4x-3 che passa per i punti a(-3,0), b(1,-8), c(-1/2,-5/4) detto a' l'ulteriore punto di intersezione della parabola con l'asse delle ascisse, determinare sull'arco aa' un punto P tale che, indicando con H la sua proiezione sulla tangente in a e con N il punto di tale tangente che ha la stessa ascissa di P, si abbia PN + radicedi5PH= k
risultato: una soluzione 0
problema:
data l'equaz. di parabola y=-x^2-4x-3 che passa per i punti a(-3,0), b(1,-8), c(-1/2,-5/4) detto a' l'ulteriore punto di intersezione della parabola con l'asse delle ascisse, determinare sull'arco aa' un punto P tale che, indicando con H la sua proiezione sulla tangente in a e con N il punto di tale tangente che ha la stessa ascissa di P, si abbia PN + radicedi5PH= k
risultato: una soluzione 0
Risposte
Intanto volevo dare il benvenuto e francoise e ringraziare JvloIvk per la risposta. Volevo solo dare un consiglio a JvloIvk per l'inserimento delle immagini. Hai fatto benissimo a salvare l'immagine in .gif (per le equazioni è l'ideale), se poi la salvi anche con sfondo trasparente risulta anche molto... elegante. E' solo un consiglio, ecco come viene
WonderP.
WonderP.
Ponendo y=0 ottieni l'equazione di 2° grado:
x^2+4x+3
che risolta ti fornisce 2 radici x=-3 e x=-1
Quindi i punti di contatto tra la parabola e l'asse x sono:
A(-3;0) A'(-1;0)
Applicando le formule di sdoppiamento la tanegnte ha equazione:
y=2x+6
Il punto P appartiene appartiene all'arco di parabola AA':
y=-x^2-4x-3
-3=
Passando alle coordinate parametriche:
P(t;-t^2-4t-3)
A questo punto conviene usare una formula per trovare l'ascissa della proiezione di P lungo la retta tangente(nell'ultimo messaggio ho spiegato il procedimento):
Sostiuendo m=2 e q=6 si ha:
x(H)=(-2t^2-7t-18)/5
Sostituendo all'equazione y=2x+6:
y(H)=(-4t^2-14t-6)/5
H[(-2t^2-7t-18)/5;(-4t^2-14t-6)/5]
Il punto N ha ascissa:
x(N)=t
e sostituendo all'equazione della retta:
y(N)=2t+6
N[t;2t+6]
Parte 2
P ed N hanno la stessa ascissa pre cui PN è banalmente:
PN=|2t+6+t^2+4t+3|=|t^2+6t+9|=(t+3)^2
Applichiamo il metodo della parabola:
Operando i cambi di variabili:
Y=t^2
X=t
da cui si ricava Y=X^2
l'equazione paramatrica si abbassa di grado:
Y=X^2
2Y+12X+18-k=0
-3=
Per X=-3 Y=9 e k=0-->1 soluzone limite e una ordinaria
Per X=-1 Y=1 e k=8-->1 soluzione limite
Ma essenso 2(t+3)^2=k
per k=0 la soluzione limite e quella ordinaria coincidono
0=2 soluzioni ordinarie
x^2+4x+3
che risolta ti fornisce 2 radici x=-3 e x=-1
Quindi i punti di contatto tra la parabola e l'asse x sono:
A(-3;0) A'(-1;0)
Applicando le formule di sdoppiamento la tanegnte ha equazione:
y=2x+6
Il punto P appartiene appartiene all'arco di parabola AA':
y=-x^2-4x-3
-3=
Passando alle coordinate parametriche:
P(t;-t^2-4t-3)
A questo punto conviene usare una formula per trovare l'ascissa della proiezione di P lungo la retta tangente(nell'ultimo messaggio ho spiegato il procedimento):
Sostiuendo m=2 e q=6 si ha:
x(H)=(-2t^2-7t-18)/5
Sostituendo all'equazione y=2x+6:
y(H)=(-4t^2-14t-6)/5
H[(-2t^2-7t-18)/5;(-4t^2-14t-6)/5]
Il punto N ha ascissa:
x(N)=t
e sostituendo all'equazione della retta:
y(N)=2t+6
N[t;2t+6]
Parte 2
P ed N hanno la stessa ascissa pre cui PN è banalmente:
PN=|2t+6+t^2+4t+3|=|t^2+6t+9|=(t+3)^2
Applichiamo il metodo della parabola:
Operando i cambi di variabili:
Y=t^2
X=t
da cui si ricava Y=X^2
l'equazione paramatrica si abbassa di grado:
Y=X^2
2Y+12X+18-k=0
-3=
Per X=-3 Y=9 e k=0-->1 soluzone limite e una ordinaria
Per X=-1 Y=1 e k=8-->1 soluzione limite
Ma essenso 2(t+3)^2=k
per k=0 la soluzione limite e quella ordinaria coincidono
0=
Ma c'è un opzione in Mathtype per cambiare sfonfo?
Non penso sia possibile. Io per farla in trasparenza la apro con un programma di ritocco grafico e quando la salvo (in .gif ovviamante) c'è sono tra le opzioni, la possibilità di scegliere il colore di trasparenza. In questo caso il bianco. Personamente uso PSP, ma anche altri vanno bene. Se non dovessi averne,nessun problema, la formula si legge benissimo comunque ed è questo quello che conta!
WonderP.
WonderP.
ti ringrazio tanto per la risp, ma ho ancora dei problemi. la mia prof. mi ha suggerito di sfruttare l'equazione della parabola come coordinate del punto che si trova sudi essa: quindi se la parabola è y=-x^2-4x-3 le coordinate del punto P generico che giace sull'arco AA' sono P(x, -x^2-4x-3); allo stesso modo per tutti gli altri punti generici che si trovano sulle rette in gioco. ho ancora delle domande da farti: perchè hai utilizzato il fascio generico in A piuttosto la formula di sdoppiamento dato che in questo caso il punto appartiene alla figura? e perchè hai imposto come limitazioni geometriche -3=
Puoi usare indifferentemente la formula di sdoppiamento anche quando il punto NON appartiene alla parabola.Ho deciso di non usaral xkè nn ero sicuro che tu la conoscessi.
Quanto alla limitazione hai ragione,ho commesso una svista!
Quanto alla limitazione hai ragione,ho commesso una svista!
la formula che tu hai utilizzato per trovarti l'ascissa di P, non l'ho mai utilizzata per la risoluzione di qst problemi. voglio farti vedere un mio ipotetico svolgimento così potresti correggermi...
la traccia del problema è sempre la stessa: le coordinate di P allora diventano (x,-x^2-4x-3), mentre le coord. di H proiezione di P sulla retta tg in A di equazione y=2x+6 sono H (x, 2x+6) mentre quelle di N punto della tg che ha la stessa ascissa di P sono (x,2x+6) (TI DICO CHE GIà IL FATTO CHE N E H ABBIANO LE STESSE COORDINATE NON MI CONVINCE). la relazione imposta è: PN + radicedi5PH= k.
allora a questo punto farei la distanza tra i vari punti:
PH= 5(-x^2-4x-3-2x-6)^2 tutto sotto una radice al quadrato che poi si semplifica e quindi verrà 5(-x^2-6x-9)
PN= (-x^2-4x-3-2x-6)^2 allo stesso modo si semplifica
alla fine verrà nel sistema:
-6x^2-36x-54= k
y=k
-3=
la soluzione è: k=o 2 soluzioni coincidenti e 0
la traccia del problema è sempre la stessa: le coordinate di P allora diventano (x,-x^2-4x-3), mentre le coord. di H proiezione di P sulla retta tg in A di equazione y=2x+6 sono H (x, 2x+6) mentre quelle di N punto della tg che ha la stessa ascissa di P sono (x,2x+6) (TI DICO CHE GIà IL FATTO CHE N E H ABBIANO LE STESSE COORDINATE NON MI CONVINCE). la relazione imposta è: PN + radicedi5PH= k.
allora a questo punto farei la distanza tra i vari punti:
PH= 5(-x^2-4x-3-2x-6)^2 tutto sotto una radice al quadrato che poi si semplifica e quindi verrà 5(-x^2-6x-9)
PN= (-x^2-4x-3-2x-6)^2 allo stesso modo si semplifica
alla fine verrà nel sistema:
-6x^2-36x-54= k
y=k
-3=
la soluzione è: k=o 2 soluzioni coincidenti e 0
la formula che tu hai utilizzato per trovarti l'ascissa di P, non l'ho mai utilizzata per la risoluzione di qst problemi. voglio farti vedere un mio ipotetico svolgimento così potresti correggermi...
la traccia del problema è sempre la stessa: le coordinate di P allora diventano (x,-x^2-4x-3), mentre le coord. di H proiezione di P sulla retta tg in A di equazione y=2x+6 sono H (x, 2x+6) mentre quelle di N punto della tg che ha la stessa ascissa di P sono (x,2x+6) (TI DICO CHE GIà IL FATTO CHE N E H ABBIANO LE STESSE COORDINATE NON MI CONVINCE). la relazione imposta è: PN + radicedi5PH= k.
allora a questo punto farei la distanza tra i vari punti:
PH= 5(-x^2-4x-3-2x-6)^2 tutto sotto una radice al quadrato che poi si semplifica e quindi verrà 5(-x^2-6x-9)
PN= (-x^2-4x-3-2x-6)^2 allo stesso modo si semplifica
alla fine verrà nel sistema:
-6x^2-36x-54= k
y=k
-3=
la soluzione è: k=o 2 soluzioni coincidenti e 0
la traccia del problema è sempre la stessa: le coordinate di P allora diventano (x,-x^2-4x-3), mentre le coord. di H proiezione di P sulla retta tg in A di equazione y=2x+6 sono H (x, 2x+6) mentre quelle di N punto della tg che ha la stessa ascissa di P sono (x,2x+6) (TI DICO CHE GIà IL FATTO CHE N E H ABBIANO LE STESSE COORDINATE NON MI CONVINCE). la relazione imposta è: PN + radicedi5PH= k.
allora a questo punto farei la distanza tra i vari punti:
PH= 5(-x^2-4x-3-2x-6)^2 tutto sotto una radice al quadrato che poi si semplifica e quindi verrà 5(-x^2-6x-9)
PN= (-x^2-4x-3-2x-6)^2 allo stesso modo si semplifica
alla fine verrà nel sistema:
-6x^2-36x-54= k
y=k
-3=
la soluzione è: k=o 2 soluzioni coincidenti e 0
Allora la tangente è y=2x+6
Le coordinate parametriche del punto P sono:
P(t;-t^2-4t-3)
Ti consiglio di mettere t xkè puoi incorrere facilmente in errori)
Il fascio di rette perpendicolari alla retta y=2x+6 è:
y=-1/2x+k
Per la condizione di appartenenza:
k=-t^2-4t-3+1/2t=-t^2-7/2t-3
La retta perpendicolare a y=2x+6 e passante per P ha equazione:
y=-1/2x-t^2-7/2t-3
Ora impostando il sistema
y=-1/2x-t^2-7/2t-3
y=2x+6
Trovi che:
x=(-2t^2-7t-18)/5
y=(-4t^2-14t-6)/5
Quindi H ha coordinate:
H((-2t^2-7t-18)/5;(-4t^2-14t-6)/5)
Se proprio vuoi x anzichè t:
H((-2x^2-7x-18)/5;(-4x^2-14x-6)/5))
Ma attenta a non confondere x di P e quello di H(ecco xkè t)
Ho apportato alcune modifiche nel primo messaggio
Le coordinate parametriche del punto P sono:
P(t;-t^2-4t-3)
Ti consiglio di mettere t xkè puoi incorrere facilmente in errori)
Il fascio di rette perpendicolari alla retta y=2x+6 è:
y=-1/2x+k
Per la condizione di appartenenza:
k=-t^2-4t-3+1/2t=-t^2-7/2t-3
La retta perpendicolare a y=2x+6 e passante per P ha equazione:
y=-1/2x-t^2-7/2t-3
Ora impostando il sistema
y=-1/2x-t^2-7/2t-3
y=2x+6
Trovi che:
x=(-2t^2-7t-18)/5
y=(-4t^2-14t-6)/5
Quindi H ha coordinate:
H((-2t^2-7t-18)/5;(-4t^2-14t-6)/5)
Se proprio vuoi x anzichè t:
H((-2x^2-7x-18)/5;(-4x^2-14x-6)/5))
Ma attenta a non confondere x di P e quello di H(ecco xkè t)
Ho apportato alcune modifiche nel primo messaggio
Solo come una curiosita' culturale propongo
una soluzione mista geometrico-analitica.
Siano:A(-3,0),A'(-1,0),S(x,0) la proiezione
otogonale di P sull'asse x ed N (x,2x+6).
Poiche' P sta sull'arco AA' ,deve essere
-3<=x<=-1 e cio' assicura che x+3>=0.
Ora AS=|x(S)-x(A)|=|x+3|=x+3
AN=sqrt(AS^2+SN^2)=sqrt[(x+3)^2+4(x+3)^2]=(x+3)sqrt(5)
Dai triangoli simili ASN e PHN si ricava:
AS:PH=AN:PN --->PN=PH*(AN/AS)=PH*(x+3)sqrt(5)/(x+3)
e quindi:PN=PH*sqrt(5).Sostituendo nella relazione:
2*PH*sqrt(5)=k---->PH=k*sqrt(5)/10
Ora,al variare di P sull'arco AA',il minimo di PH
e' 0 e si ha quando P cade su A;il massimo lo si ha
quando P cade su A' ed e' uguale alla distanza di
A' dalla retta 2x-y+6=0 .Tale massimo e' dunque:
max=|2*(-1)-0+6|/sqrt(5)=4/sqrt(5)=8sqrt(5)/10.
Pertanto deve essere:
0<=PH<=8sqrt(5)/10-->0<=k*sqrt(5)/10<=8sqrt(5)/10
e quindi :0<=k<=8.
Secondo me,per 0<=k<=8, c'e' sempre una soluzione.
karl.
una soluzione mista geometrico-analitica.
Siano:A(-3,0),A'(-1,0),S(x,0) la proiezione
otogonale di P sull'asse x ed N (x,2x+6).
Poiche' P sta sull'arco AA' ,deve essere
-3<=x<=-1 e cio' assicura che x+3>=0.
Ora AS=|x(S)-x(A)|=|x+3|=x+3
AN=sqrt(AS^2+SN^2)=sqrt[(x+3)^2+4(x+3)^2]=(x+3)sqrt(5)
Dai triangoli simili ASN e PHN si ricava:
AS:PH=AN:PN --->PN=PH*(AN/AS)=PH*(x+3)sqrt(5)/(x+3)
e quindi:PN=PH*sqrt(5).Sostituendo nella relazione:
2*PH*sqrt(5)=k---->PH=k*sqrt(5)/10
Ora,al variare di P sull'arco AA',il minimo di PH
e' 0 e si ha quando P cade su A;il massimo lo si ha
quando P cade su A' ed e' uguale alla distanza di
A' dalla retta 2x-y+6=0 .Tale massimo e' dunque:
max=|2*(-1)-0+6|/sqrt(5)=4/sqrt(5)=8sqrt(5)/10.
Pertanto deve essere:
0<=PH<=8sqrt(5)/10-->0<=k*sqrt(5)/10<=8sqrt(5)/10
e quindi :0<=k<=8.
Secondo me,per 0<=k<=8, c'e' sempre una soluzione.
karl.
Ma forse francoise non conosce la risoluzione sintetica di un problema geometrico.Cmq la soluzione di Karl è naturalmente la migliore per evitare la discussione
Infatti l'ho proposta come una "curiosita'".
D'altra parte ,a mio giudizio, la risoluzione
sintetica presenta notevoli vantaggi
se lo scopo finale di un qualunque problema
(anche il piu' trito) e' lo sviluppo
delle capacita' analitico-critiche dell'allievo.
E non e' nemmeno detto che sia piu' difficile :
basta un po' di abitudine.
karl.
D'altra parte ,a mio giudizio, la risoluzione
sintetica presenta notevoli vantaggi
se lo scopo finale di un qualunque problema
(anche il piu' trito) e' lo sviluppo
delle capacita' analitico-critiche dell'allievo.
E non e' nemmeno detto che sia piu' difficile :
basta un po' di abitudine.
karl.
salve, ho ancora bisogno di voi: volevo sapere come posso calcolare i fuochi e i vertici di un'iperbole equilatera traslata, che in realtà non è altro che un'iperbole riferita agli asintoti traslata.
Una funzione omografica ha equazione:
y=(ax+b)/(cx+d)
Per ottenere un'iperbole della forma x ²-y ²=k ²bisogna rototraslare la figura
con una rotazione di 45°gradi e una traslazione di vettore l:
l(-d/c;a/c)
Quindi:
x=-d/c+X*cos45°-Y*sen45°
y=a/c+X*sen45°+Ycos45°
oppure:
x=-d/c+sqrt2/2(X-Y)
y=a/c+sqrt2/2(X+Y).
Sostituendo viene infatti:
X ²-Y ²=2(bc-ad)/c ²
Esaminiamo i 2 casi distinti:
*)bc-ad>0
*)bc-ad<0
Primo caso
L'iperbole è di questo tipo:
Il vertice e il fuoco giacciono sull'asse x
*)In un'iperbole equilatera di equazione x²-y²=k²
-Le ascisse dei fuochi sono:
X(c)=±k*sqrt(2)
dove k²=2(bc-ad)/c²
-Le ascisse dei vertici sono:
X(v)=±k
Per ottenere i fuochi e i vertici delle funzioni omografiche rototrasliamo C e V con le formule soprautilizzate:
x=-d/c+X*cos45°-Y*sen45°
y=a/c+X*sen45°+Ycos45°
X(C)=-d/c±k
Y(C)=a/c±k
Per V:
X(V)=-d/c±sqrt2/2*k
Y(V)=a/c±sqrt2/2*k
Secondo caso
Stesso ragionamento di prima;l'unica differenza è ke il vertice e il fuoco giacciono sull'asse y
y=(ax+b)/(cx+d)
Per ottenere un'iperbole della forma x ²-y ²=k ²bisogna rototraslare la figura
con una rotazione di 45°gradi e una traslazione di vettore l:
l(-d/c;a/c)
Quindi:
x=-d/c+X*cos45°-Y*sen45°
y=a/c+X*sen45°+Ycos45°
oppure:
x=-d/c+sqrt2/2(X-Y)
y=a/c+sqrt2/2(X+Y).
Sostituendo viene infatti:
X ²-Y ²=2(bc-ad)/c ²
Esaminiamo i 2 casi distinti:
*)bc-ad>0
*)bc-ad<0
Primo caso
L'iperbole è di questo tipo:
Il vertice e il fuoco giacciono sull'asse x
*)In un'iperbole equilatera di equazione x²-y²=k²
-Le ascisse dei fuochi sono:
X(c)=±k*sqrt(2)
dove k²=2(bc-ad)/c²
-Le ascisse dei vertici sono:
X(v)=±k
Per ottenere i fuochi e i vertici delle funzioni omografiche rototrasliamo C e V con le formule soprautilizzate:
x=-d/c+X*cos45°-Y*sen45°
y=a/c+X*sen45°+Ycos45°
X(C)=-d/c±k
Y(C)=a/c±k
Per V:
X(V)=-d/c±sqrt2/2*k
Y(V)=a/c±sqrt2/2*k
Secondo caso
Stesso ragionamento di prima;l'unica differenza è ke il vertice e il fuoco giacciono sull'asse y
riguardo la funzione omografica preferirei che mi svolgessi un esercizio: traccia il grafico, il centro, il fuoco gli assi gli asintoti e le direttrici delle seguenti funzioni (mostrandomi tutti i passaggi e procedimenti)
y= x+1/ 2x + 3
y= x-3/ x
y= x+ 2/3x + 4
grazie
y= x+1/ 2x + 3
y= x-3/ x
y= x+ 2/3x + 4
grazie
Trasformi la funzione omografica in equilatera(X^2-Y^2=k^2)con le formule(che ho dimostrato):
x=-d/c+sqrt2/2(X-Y)
y=a/c+sqrt2/2(X+Y).
Ti trovi gli elementi che ti servono e riutilizzi le formule..Non è difficile
x=-d/c+sqrt2/2(X-Y)
y=a/c+sqrt2/2(X+Y).
Ti trovi gli elementi che ti servono e riutilizzi le formule..Non è difficile
@JvloIvk
Quale programma utilizzi per i grafici?
Non mi sembra Derive...
Quale programma utilizzi per i grafici?
Non mi sembra Derive...
Ho usato un programma assolutamente gratis :analysis.
In alcuni aspetti come esportazione dei grafici lo preferisco a derive
In alcuni aspetti come esportazione dei grafici lo preferisco a derive
ma esiste un libro che spieghi tutti questi procedimenti analitici?
All'univ la matematica analitica sembra un pò scemata, si fanno delle cose meccaniche mentre questi probl mi sembrano + stimolanti
All'univ la matematica analitica sembra un pò scemata, si fanno delle cose meccaniche mentre questi probl mi sembrano + stimolanti
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