Ricerca dominio equazione irrazionale con valore assoluto
Ho qualche piccolo dubbio sulla risoluzione di questo esercizio;
$y=sqrt(|x+4|-1)+sqrt(|x|)$
l'esercizio chiede di trovare il dominio. ragionandoci su devo solo impostare che l'argomento delle radici sia maggiore di zero considerando i valori assoluti prima positivi e poi negativi.
imposto pertanto due sistemi: il primo quando $|x+4|$ e $|x|$ sono positivi
${ ( x+4-1>=0 ),( x>=0 ):}$
ottengo come soluzione $x>=-3$
il secondo quando $|x+4|$ e $|x|$ sono entrambi negativi
${ ( -x-4-1>=0 ),( -x>=0 ):}$ ${ ( x<=-5 ),( x<=0 ):}$
dal secondo ottengo come soluzione $x<=-5$
le due soluzioni pertanto vanno unite.
La mia domanda è........devo impostare anche altri due sistemi???
$x+4$ positivo e $x$ negativo
$x+4$ negativo e $x$ positivo
$y=sqrt(|x+4|-1)+sqrt(|x|)$
l'esercizio chiede di trovare il dominio. ragionandoci su devo solo impostare che l'argomento delle radici sia maggiore di zero considerando i valori assoluti prima positivi e poi negativi.
imposto pertanto due sistemi: il primo quando $|x+4|$ e $|x|$ sono positivi
${ ( x+4-1>=0 ),( x>=0 ):}$
ottengo come soluzione $x>=-3$
il secondo quando $|x+4|$ e $|x|$ sono entrambi negativi
${ ( -x-4-1>=0 ),( -x>=0 ):}$ ${ ( x<=-5 ),( x<=0 ):}$
dal secondo ottengo come soluzione $x<=-5$
le due soluzioni pertanto vanno unite.
La mia domanda è........devo impostare anche altri due sistemi???
$x+4$ positivo e $x$ negativo
$x+4$ negativo e $x$ positivo
Risposte
La condizione su $|x|$ non va imposta: un valore assoluto è sempre positivo o nullo. Resta l'altra condizione, e si risolve pensando al segno di $x+4$, come appunto hai fatto. Con un errore: se davvero ci fosse stato il sistema
${ ( x+4-1>=0 ),( x>=0 ):}$
la soluzione sarebbe stata $x>=0$, non $x>=-3$.
Se nella seconda radice non ci fosse stato il valore assoluto, occorreva davvero imporre la $x>=0$. In questo caso però potevi velocizzare i calcoli, notando che se $x$ non è negativo, allora $x+4$ è positivo ed il valore assoluto è inutile. Restava il sistema
${(x+4-1>=0),(x>=0):}$
${ ( x+4-1>=0 ),( x>=0 ):}$
la soluzione sarebbe stata $x>=0$, non $x>=-3$.
Se nella seconda radice non ci fosse stato il valore assoluto, occorreva davvero imporre la $x>=0$. In questo caso però potevi velocizzare i calcoli, notando che se $x$ non è negativo, allora $x+4$ è positivo ed il valore assoluto è inutile. Restava il sistema
${(x+4-1>=0),(x>=0):}$
"giammaria":
La condizione su $|x|$ non va imposta: un valore assoluto è sempre positivo o nullo.
scusa ma non mi è chiarissimo; allora io ragiono cosi:devo togliere il valore assoluto, quindi simulo quello che fa il valore assoluto senza averlo, ovvero
1) se il numero è positivo, il valore assoluto non fa nulla
2) se il numero è negativo, per avere lo stesso effetto del valore assoluto cambio di segno a tutto.
Perchè questo ragionamento non devo applicarlo a $|x|$?
alla fine anche $ |x+4| $ è dentro al valore assoluto ma mi pongo le domande dei punti precedenti.
Che cosa cambia?
cioè se il valore assoluto è sempre positivo, allora anche $|x+4|$ è sempre positivo e pertanto cosa le imposto a fare le due condizioni?
"Marco1005":Non capisco quale sia il problema, ci sono due condizioni da porre
$y=sqrt(|x+4|-1)+sqrt(|x|)$
1) $|x+4|-1 ge 0$
2) $|x| ge 0$
La seconda è sempre vera! Il modulo di un numero qualsiasi è sempre positivo o nullo. Quindi la (2) la puoi ignorare e concentrarti sulla prima,
(*) $|x+4|-1 ge 0$
Questa non la puoi ignorare perché non è sempre vera, devi risolverla. Quindi per riassumere tutto quello che devi fare è risolvere la disequazione (*).
I valori assoluti mettono sempre un po' di confusione
Invece di fare tanti conti e passaggi preordinato proviamo a ragionare
Vogliamo sapere quando "qualcosa che è sempre positivo o nullo" - 1 é negativo (così escludiamo quella situazione)
Allora "qualcosa" deve essere più piccolo di 1
Invece di fare tanti conti e passaggi preordinato proviamo a ragionare
Vogliamo sapere quando "qualcosa che è sempre positivo o nullo" - 1 é negativo (così escludiamo quella situazione)
Allora "qualcosa" deve essere più piccolo di 1
Io invece la vedo al contrario 
Ovvero applichiamo bene le tecniche che funzionano; una volta giunti alla soluzione corretta (e quindi siamo sicuri che il tutto funzioni), ripercorriamo tutto il percorso (anche più e più volte) finché non è tutto chiaro.
IMHO.
Io noto che le "scorciatoie" sono sempre dannose se chi le applica non è ancora padrone della strada principale.
Ovvero applichiamo bene le tecniche che funzionano; una volta giunti alla soluzione corretta (e quindi siamo sicuri che il tutto funzioni), ripercorriamo tutto il percorso (anche più e più volte) finché non è tutto chiaro.
IMHO.
Io noto che le "scorciatoie" sono sempre dannose se chi le applica non è ancora padrone della strada principale.
E' vero che le scorciatoie sono pericolose ("dannose" mi sembra eccessivo), ma non è male sapere che in alcuni casi esistono.
Ribadisco quanto scritto da Martino facendo un altro esempio, con numeri a casaccio perché mi interessa solo vedere il concetto: vogliamo il CE di
$sqrt(|x+5|-3)+sqrt(7-|x-1|)-sqrt(2+|x+3|)$
Devono essere verificate tutte le seguenti tre condizioni (e quindi è un sistema):
1) $|x+5|-3>=0$
2) $7-|x-1|>=0$
3) $2+|x+3|>=0$
Comincio con la 1) e la continuo fino alla sua soluzione: devo distinguere due casi, a seconda del segno di $x+5$, e poi fare l'unione di questi due casi. A questo punto, mi interessa solo più la soluzione e non il segno di $x+5$.
Nello stesso modo risolvo la 2) ed anche qui tengo solo la soluzione finale.
Per la 3) non occorre nessun calcolo perché è evidente che il primo membro è sempre maggiore o uguale a 2 e quindi la disequazione è sempre verificata.
Metto poi a sistema i tre risultati, ma posso anche trascurare la terza disequazione, che non modifica la conclusione. Capita spesso che le disequazioni sempre (o mai) verificate siano inutili, ma nel dubbio mettille: a volte sono essenziali. Ad esempio, se vuoi che due disequazioni siano entrambe verificate ed una non lo è mai, è inutile fare calcoli con l'altra.
E' sempre bene ragionare e pensare che un valore assoluto è sempre $>=0$, che la somma di due numeri positivi è positiva e simili.
Ribadisco quanto scritto da Martino facendo un altro esempio, con numeri a casaccio perché mi interessa solo vedere il concetto: vogliamo il CE di
$sqrt(|x+5|-3)+sqrt(7-|x-1|)-sqrt(2+|x+3|)$
Devono essere verificate tutte le seguenti tre condizioni (e quindi è un sistema):
1) $|x+5|-3>=0$
2) $7-|x-1|>=0$
3) $2+|x+3|>=0$
Comincio con la 1) e la continuo fino alla sua soluzione: devo distinguere due casi, a seconda del segno di $x+5$, e poi fare l'unione di questi due casi. A questo punto, mi interessa solo più la soluzione e non il segno di $x+5$.
Nello stesso modo risolvo la 2) ed anche qui tengo solo la soluzione finale.
Per la 3) non occorre nessun calcolo perché è evidente che il primo membro è sempre maggiore o uguale a 2 e quindi la disequazione è sempre verificata.
Metto poi a sistema i tre risultati, ma posso anche trascurare la terza disequazione, che non modifica la conclusione. Capita spesso che le disequazioni sempre (o mai) verificate siano inutili, ma nel dubbio mettille: a volte sono essenziali. Ad esempio, se vuoi che due disequazioni siano entrambe verificate ed una non lo è mai, è inutile fare calcoli con l'altra.
E' sempre bene ragionare e pensare che un valore assoluto è sempre $>=0$, che la somma di due numeri positivi è positiva e simili.
"giammaria":
E' vero che le scorciatoie sono pericolose ("dannose" mi sembra eccessivo), ma non è male sapere che in alcuni casi esistono.
Io non dico questo ma che le scorciatoie è meglio conoscerle "dopo" e non "prima" od insieme al percorso "standard", se così posso dire.
E sì, le ritengo proprio dannose (se, come ho detto, chi le applica non è ancora padrone della strada principale) perché ho visto spesso "lamentele" del tipo "Eh ma, mi hanno detto che si può fare anche così", "Eh ma, lo usa spesso anche il mio prof", "Eh ma, perché sarebbe, sbagliata? Dove sbaglio? L'ho visto fare sul libro", ecc. e proprio perché chi le ha applicate non avevano minimamente capito il motivo per cui si potevano usare
Anche se in linea generale sono d’accordo con axpgn, non mi pare che il procedimento proposto da giammaria possa essere considerato una scorciatoia.
@melia
Il mio era un discorso in generale ed in risposta a gio73, non a giammaria, ed ho usato la parola "scorciatoia" per estremizzare il concetto e renderlo più evidente ma è pure chiaro che è una parola che può essere declinata con diverse gradazioni.
Ribadisco però il concetto di "dannosità" e qui ne abbiamo un esempio concreto, a mio parere.
Si chiede di determinare il dominio naturale (non il dominio) di quella funzione; ad una rapida ispezione, si notano due radici quadrate e quindi si deduce che i due radicandi devono essere non negativi ovvero vanno risolte due disequazioni; due disequazioni che vanno messe a sistema.
Perché? Perché vanno messe a sistema? È questo il (primo) punto cruciale del problema e che va compreso per bene dal discente.
Se gli si dice che il secondo radicando è sempre non negativo (cosa vera, verissima e che semplifica sicuramente le cose) non gli si fa un favore, se il discente non ha ancora assimilato ben bene il punto cruciale di cui sopra, ma gli si può creare confusione; tant'è vero che in questo caso quando gli è stato detto di ignorare il secondo radicando perché tanto $|x|$ non è mai negativo, l'OP ha risposto che anche $|x+4|$ lo era quindi dove stava la differenza?
IMHO
Cordialmente, Alex
Il mio era un discorso in generale ed in risposta a gio73, non a giammaria, ed ho usato la parola "scorciatoia" per estremizzare il concetto e renderlo più evidente ma è pure chiaro che è una parola che può essere declinata con diverse gradazioni.
Ribadisco però il concetto di "dannosità" e qui ne abbiamo un esempio concreto, a mio parere.
Si chiede di determinare il dominio naturale (non il dominio) di quella funzione; ad una rapida ispezione, si notano due radici quadrate e quindi si deduce che i due radicandi devono essere non negativi ovvero vanno risolte due disequazioni; due disequazioni che vanno messe a sistema.
Perché? Perché vanno messe a sistema? È questo il (primo) punto cruciale del problema e che va compreso per bene dal discente.
Se gli si dice che il secondo radicando è sempre non negativo (cosa vera, verissima e che semplifica sicuramente le cose) non gli si fa un favore, se il discente non ha ancora assimilato ben bene il punto cruciale di cui sopra, ma gli si può creare confusione; tant'è vero che in questo caso quando gli è stato detto di ignorare il secondo radicando perché tanto $|x|$ non è mai negativo, l'OP ha risposto che anche $|x+4|$ lo era quindi dove stava la differenza?
IMHO
Cordialmente, Alex
"axpgn":
tant'è vero che in questo caso quando gli è stato detto di ignorare il secondo radicando perché tanto $|x|$ non è mai negativo, l'OP ha risposto che anche $|x+4|$ lo era quindi dove stava la differenza?
Che sotto radice c è $|x+4|-1$ e non solo il valore assoluto, se ne è dimenticato un pezzo
Capisco il tuo punto di vista, BTW.
Ove possibile tendo però tendo a preferire il percorso più rapido e leggero.
"gio73":
... se ne è dimenticato un pezzo ...
Appunto, non avendo ben compreso prima, ha fatto un confronto sbagliato ma bastava NON semplificargli la vita indicandogli una scorciatoia (che non contesto né nella veridicità né nell'efficacia), indirizzandolo invece sulla strada "normale" del sistema di due disequazioni e solo DOPO che avesse compreso il perché di ciò, suggerirgli la via più breve e comoda.
IMHO
Cordialmente, Alex
"axpgn":
@melia
Il mio era un discorso in generale ed in risposta a gio73, non a giammaria, …cut…
Cordialmente, Alex
Scusami, avevo frainteso.
Di nulla, figurati
Era solo per precisare e perché mi interessava conoscere il parere di gio73.
Cordialmente, Alex
Era solo per precisare e perché mi interessava conoscere il parere di gio73.
Cordialmente, Alex
"giammaria":
La condizione su $|x|$ non va imposta:
Scusa del ritardo nella risposta.
Quindi in questo caso non solo la condizione su $|x|$ non andava impostata, ma risulta pure dannosa per il calcolo della soluzione finale. Non ci avevo pensato.
Effettivamente l'unica che può essere negativa è il valore assoluto di qualcosa meno un numero.
A seconda della grandezza del numero uscente dal valore assoluto possiamo avere un numero negativo o positivo.
L'altra non deve essere impostata quindi a presindere.
Grazie a tutti per le risposte
"Marco1005":
Quindi in questo caso non solo la condizione su $|x|$ non andava impostata, ma risulta pure dannosa per il calcolo della soluzione finale. Non ci avevo pensato.
NO!
Va imposta e va risolta. Altro che dannosa ...
Quella di giammaria era una scorciatoia (giusta e utile) ma come tutte le scorciatoie nasconde insidie che ti possono condurre fuoristrada.
Ed è proprio il motivo per cui sono intervenuto.
Ripeto il mio pensiero: lasciamo stare le scorciatoie finché non si è padroni del proprio mezzo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo