Ricerca asintoti obliqui
Utilizzo un esercizio che ho svolto, ma la mia domanda è di ordine generale.
Data la funzione $y=sqrt(2x^2-3x)$ devo trovarne gli eventuali asintoti obliqui.
Tutto piuttosto lineare; uso il procedimento classico, calcolando prima il limite per x che tende all'infinito della funzione (per vedere se può esserci asintoto obliquo) e poi sia $m$ che $q$.
A questo punto, l'equazione dell'asintoto obliquo deve essere $y=sqrt(2)x-(3/2sqrt(2))$. Il testo tuttavia porta questo stesso risultato, con l'aggiunta però dei segni opposti (insomma usa $+-$) sia a $mx$ che a $q$.
Ora io dico: c'entra sicuramente il fatto che siamo sotto una radice di indice pari (o perlomeno dovrebbe), ma perchè in questo, come in altre ricerche di asintoti obliqui, in cui le funzioni date sono irrazionali, devo mettere entrambi i segni per l'asintoto obliquo?
(Più semplice è la spiegazione, meglio è, se possibile
)
Grazie anticipatamente.
Data la funzione $y=sqrt(2x^2-3x)$ devo trovarne gli eventuali asintoti obliqui.
Tutto piuttosto lineare; uso il procedimento classico, calcolando prima il limite per x che tende all'infinito della funzione (per vedere se può esserci asintoto obliquo) e poi sia $m$ che $q$.
A questo punto, l'equazione dell'asintoto obliquo deve essere $y=sqrt(2)x-(3/2sqrt(2))$. Il testo tuttavia porta questo stesso risultato, con l'aggiunta però dei segni opposti (insomma usa $+-$) sia a $mx$ che a $q$.
Ora io dico: c'entra sicuramente il fatto che siamo sotto una radice di indice pari (o perlomeno dovrebbe), ma perchè in questo, come in altre ricerche di asintoti obliqui, in cui le funzioni date sono irrazionali, devo mettere entrambi i segni per l'asintoto obliquo?
(Più semplice è la spiegazione, meglio è, se possibile
)Grazie anticipatamente.
Risposte
"TR0COMI":
(Più semplice è la spiegazione, meglio è, se possibile )
ciao
i limiti che calcoli per il valore di m sono due: uno a $- infty$ e l'altro a $+infty$, nel primo caso $m=-sqrt2$ e nel secondo $m=+sqrt2$
$lim_(x->-infty)sqrt(2x^2-3x)/x= - sqrt2$
da cui $m_1= - sqrt2$
$lim_(x->-infty)sqrt(2x^2-3x)-(-sqrt2)x= +3/4 sqrt2$
da cui $q_1=+3/4 sqrt2$
così hai il primo asintoto:
$y=m_1+q_1$
adesso ripeti il procedimento facendo i limiti per $x->+infty$ e trovi il secondo asintoto.
"piero_":
ciao
i limiti che calcoli per il valore di m sono due: uno a $- infty$ e l'altro a $+infty$, nel primo caso $m=-sqrt2$ e nel secondo $m=+sqrt2$
Hai ragione, finora ho sempre affrontato il caso in cui i calcoli, o con più o con meno infinito, erano indifferenti. Perchè adesso non è quello il caso?
Davvero, perchè il risultato di $m$ , ad esempio, cambia, per x che tende a meno infinito, rispetto a per x che tende a più infinito (scusa se scrivo a parole, devo vedermi la parte di scrittura delle formule riguardante i limiti)?
Per l'altro asintoto abbiamo:
$lim_(x->+infty)sqrt(2x^2-3x)/x= sqrt2$
da cui $m_2= sqrt2$
$lim_(x->+infty)sqrt(2x^2-3x)-sqrt2x= -3/4 sqrt2$
da cui $q_2=-3/4 sqrt2$
così hai il secondo asintoto:
$y=m_2+q_2$
se il tuo problema riguarda il segno, puoi vederlo così:
$lim_(x->+-infty)sqrt(2x^2-3x)/x=(|x|*sqrt(2-3/x))/x=+-sqrt2$
infatti semplificando il num e il den per x, ottieni +1 se $x->+infty$, ottieni - 1 se $x->-infty$
$lim_(x->+infty)sqrt(2x^2-3x)/x= sqrt2$
da cui $m_2= sqrt2$
$lim_(x->+infty)sqrt(2x^2-3x)-sqrt2x= -3/4 sqrt2$
da cui $q_2=-3/4 sqrt2$
così hai il secondo asintoto:
$y=m_2+q_2$
"TR0COMI":
Davvero, perchè il risultato di $m$ , ad esempio, cambia, per x che tende a meno infinito, rispetto a per x che tende a più infinito ?
se il tuo problema riguarda il segno, puoi vederlo così:
$lim_(x->+-infty)sqrt(2x^2-3x)/x=(|x|*sqrt(2-3/x))/x=+-sqrt2$
infatti semplificando il num e il den per x, ottieni +1 se $x->+infty$, ottieni - 1 se $x->-infty$
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