Ricavare l'equazione dell'iperbole

[Phaedrus1]

Sto ripassando come si ricava l'equazione dell'iperbole con i fuochi appartenenti all'asse $x$. Ponendo $|sqrt[(x-c)^2+y^2]-sqrt[(x+c)^2+y^2]|=2a$ e svolgendo i calcoli similmente a come faccio per l'ellisse arrivo a questo punto:
$a^2x^2-c^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2$
per ottenere l'equazione dell'iperbole devo cambiare i segni, ottenendo così
$c^2x^2-a^2x^2-a^2y^2=a^2c^2-a^4$
e raccogliendo
$x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$
ora vorrei capire: è lecito cambiare i segni solo perché c'è il valore assoluto?

[Steven11]

Non centra molto il valore assoluto: semplicemente si è cambiato i segni ad entrambi i membri, ovvero li hai moltiplicati per -1.
Ragioni di comodità.

[Phaedrus1]

Ma allora a questo punto l'equazione dell'iperbole si ottiene da quella dell'ellisse semplicemente cambiando i segni? Non ho capito...

[Tony125]

Cambiare i segni ti è servito solo per trovare l'equazione canonica nella forma $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ altrimenti svolgendo i conti avresti ottenuto come forma un equazione del tipo $-x^2/a^2+y^2/b^2=-1$. Tutto qui, la somiglianza con l'equazione dell'ellisse sta solo nel fatto che i calcoli sono simili dato che hai per entrambi due radici da eliminare.