Rette in posizione generica, rette parallele
Ho urgente bisogno di un vs. aiuto per la soluzione del seguente problema:
Determinare il valore del parametro m per il quale la retta di equazione
$y=(2-m)/(2m)x+1/2(1/m-1)$
1) Passi per il punto (1;2) Unico Passaggio che ho risolto con risultato esatto e cioè 1/2
2) sia parallela all'asse y
3) sia parallela all'asse x
4) formi con l'asse x un angolo di 45°
5) formi con l'asse x un angolo di 135°
Ringrazio anticipatamente per la vs.cortesia.
Determinare il valore del parametro m per il quale la retta di equazione
$y=(2-m)/(2m)x+1/2(1/m-1)$
1) Passi per il punto (1;2) Unico Passaggio che ho risolto con risultato esatto e cioè 1/2
2) sia parallela all'asse y
3) sia parallela all'asse x
4) formi con l'asse x un angolo di 45°
5) formi con l'asse x un angolo di 135°
Ringrazio anticipatamente per la vs.cortesia.
Risposte
Ciao, ricordati che il coefficiente angolare di una retta è la tan dell'angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse (asse x). Per ricavare il valore di m per il caso parallelo all'asse y ti consiglio di scrivere la retta in modo implicito.
3) sia parallela all'asse x allora deve essere del tipo $y=k$ quindi il termine in x deve andare via, cosa che è possibile solo per $m=2$
4) formi con l'asse x un angolo di 45°, cioè è parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante, perciò il coefficiente angolare deve valere 1, $(2-m)/(2m)=1$
5) formi con l'asse x un angolo di 135°, cioè è parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante, perciò il coefficiente angolare deve valere $-1$, $(2-m)/(2m)=-1$
2) sia parallela all'asse y se il testo dell'esercizio è quello che hai postato questa cosa è impossibile perché il coefficiente della y è 1 e non si può mai annullare.
4) formi con l'asse x un angolo di 45°, cioè è parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante, perciò il coefficiente angolare deve valere 1, $(2-m)/(2m)=1$
5) formi con l'asse x un angolo di 135°, cioè è parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante, perciò il coefficiente angolare deve valere $-1$, $(2-m)/(2m)=-1$
2) sia parallela all'asse y se il testo dell'esercizio è quello che hai postato questa cosa è impossibile perché il coefficiente della y è 1 e non si può mai annullare.
Ma se scrivo il fascio di rette in forma implicita $ (m-2)x+2my+(m-1)=0 $ posso annullare il coefficiente della y e trovare m=0. Mi pare strano che in un fascio di rette non ce ne sia una parallela all'asse y.
Se moltiplichi tutto per $m$ e poi poni $m=0$ significa che hai moltiplicato per $0$
Inoltre non vedo il problema nel fatto che in un fascio manchino delle rette. Ad esempio nel fascio scritto in quel modo manca la retta $x+2y+1=0$ che, pur passando per il centro del fascio, non può essere ottenuta con nessun valore di $m$.
Inoltre non vedo il problema nel fatto che in un fascio manchino delle rette. Ad esempio nel fascio scritto in quel modo manca la retta $x+2y+1=0$ che, pur passando per il centro del fascio, non può essere ottenuta con nessun valore di $m$.
$ (m-2)x + 2my + m -1 = -2x -1+m(x+2y+1)=0 $ se $ m=0 $ ottengo proprio la retta parallela all'asse y. Inoltre è vero che la retta $ x+2y+1=0 $ non si ottiene per nessun valore di m ma appartiene comunque al fascio. In generale un fascio di rette si ottiene da una combinazione lineare di due qualsiasi rette del fascio:
$ p(ax+by+c)+t(dx+fy+g)=0 $ che, a condizione di porre $ p != 0 $ e $ m=t / p $ si può scrivere $ ax+by+c+m(dx+fy+g)=0 $
notazione dalla quale si ottengono tutte le rette del fascio tranne $ dx+fy+g = 0 $ che corrisponde alla coppia $ p=0 $ e $t=1$. Comunque immagino che tu sia un'insegnante e quindi abbia delle conoscenze più profonde di questi concetti. Se hai voglia, spiegami pure dove la mia argomentazione non fila.
$ p(ax+by+c)+t(dx+fy+g)=0 $ che, a condizione di porre $ p != 0 $ e $ m=t / p $ si può scrivere $ ax+by+c+m(dx+fy+g)=0 $
notazione dalla quale si ottengono tutte le rette del fascio tranne $ dx+fy+g = 0 $ che corrisponde alla coppia $ p=0 $ e $t=1$. Comunque immagino che tu sia un'insegnante e quindi abbia delle conoscenze più profonde di questi concetti. Se hai voglia, spiegami pure dove la mia argomentazione non fila.
La tua argomentazione non fila dal punto di vista algebrico. Mai sentito parlare di condizioni di esistenza?
Certo, se lavori con una equazione diversa ottieni risultati diversi, l'equazione proposta da Nidaem ha $m$ a denominatore, quindi la condizione $m!=0$ impedisce di trovare la retta che è parallela all'asse delle y.
Allo stesso modo nella tua spiegazione prima poni $p!=0$ poi mi dici che per $p=0$ si ottiene la retta, ti devi decidere. Certo che la retta appartiene al fascio, ma non si può trovare se il fascio è scritto in un certo modo, l'algebra ha le sue regole.
Se in un problema usassi il fascio $ ax+by+c+m(dx+fy+g)=0$ e la soluzione fosse $dx+fy+g=0$, il problema verrebbe impossibile.
Ad esempio se cerchi le tangenti alla parabola $y=x^2-4x$ uscenti da $P(0, -4)$ o usi due parametri per descrivere il fascio o perdi una delle tangenti.
Certo, se lavori con una equazione diversa ottieni risultati diversi, l'equazione proposta da Nidaem ha $m$ a denominatore, quindi la condizione $m!=0$ impedisce di trovare la retta che è parallela all'asse delle y.
Allo stesso modo nella tua spiegazione prima poni $p!=0$ poi mi dici che per $p=0$ si ottiene la retta, ti devi decidere. Certo che la retta appartiene al fascio, ma non si può trovare se il fascio è scritto in un certo modo, l'algebra ha le sue regole.
Se in un problema usassi il fascio $ ax+by+c+m(dx+fy+g)=0$ e la soluzione fosse $dx+fy+g=0$, il problema verrebbe impossibile.
Ad esempio se cerchi le tangenti alla parabola $y=x^2-4x$ uscenti da $P(0, -4)$ o usi due parametri per descrivere il fascio o perdi una delle tangenti.
la spiegazione che ho dato l'ho presa da "Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica" di G. Zwirner, libro sul quale sto studiando, dove pone appunto $ p!=0 $ per poter usare un solo parametro. Ho ammesso infatti che la retta $ dx+fy+g=0$ non si può ottenere per nessun valore di $m$, si perde una delle rette utilizzate per scrivere il fascio. Comunque penso di aver capito: non è che non si possa trovare la retta parallela all'asse $y$ ma che poiché Nidaem parte da un'espressione esplicita, non potendo porre $m=0$ altrimenti dividerei per zero non posso ottenere per via algebrica la retta del fascio parallela all'asse $y$. Se invece partissi da una forma implicita come l'ho scritta io, serebbe possibile imporre $m=0$? Posso sempre dire che trovando il centro del fascio la retta parallela all'asse $y$ è la la retta $x=$ all'ascissa del centro (indipendentemente dal fatto che riesco a trovare algebricamente un valore del parametro)?
Per quanto riguarda l'esempio delle tangenti alla parabola, algebricamente ne trovo una sola se un uso solo parametro ma posso sempre dire che l'altra è quella che ho usato per scrivere il fascio, o no?
Grazie per il tuo tempo, trovo la discussione molto stimolante, del resto sono qui per imparare
Per quanto riguarda l'esempio delle tangenti alla parabola, algebricamente ne trovo una sola se un uso solo parametro ma posso sempre dire che l'altra è quella che ho usato per scrivere il fascio, o no?
Grazie per il tuo tempo, trovo la discussione molto stimolante, del resto sono qui per imparare
"Ziben":
Comunque penso di aver capito: non è che non si possa trovare la retta parallela all'asse $y$ ma che poiché Nidaem parte da un'espressione esplicita, non potendo porre $m=0$ altrimenti dividerei per zero non posso ottenere per via algebrica la retta del fascio parallela all'asse $y$. Se invece partissi da una forma implicita come l'ho scritta io, serebbe possibile imporre $m=0$? Posso sempre dire che trovando il centro del fascio la retta parallela all'asse $y$ è la la retta $x=$ all'ascissa del centro (indipendentemente dal fatto che riesco a trovare algebricamente un valore del parametro)?
Esatto, infatti è quello che ho scritto a Nidaem
"@melia":
2) sia parallela all'asse y se il testo dell'esercizio è quello che hai postato questa cosa è impossibile perché il coefficiente della y è 1 e non si può mai annullare.
Il mio discorso avrebbe dovuto continuare con: se il testo fosse stato scritto in forma implicita... seguito dal tuo ragionamento.
Per quanto riguarda l'esempio delle tangenti alla parabola, algebricamente ne trovo una sola se un uso solo parametro ma posso sempre dire che l'altra è quella che ho usato per scrivere il fascio, o no?
Certo che lo puoi dire, ma devi ricordarti di farlo. Sai quante volte vedo nei compiti una sola soluzione, senza la riflessione sul fatto che, siccome le tangenti devono essere 2, allora si deve verificare se la retta limite è la soluzione che manca?
Ho cercato di farti riflettere sul fatto che l'algebra ti dà un sacco di cose, spesso ti dà di più di quello che cerchi, qualche volta ti dà di meno e devi cercartelo con un'altra via. Mi fa piacere di esserci riuscita.
E a me ha fatto molto piacere dialogare con te, spero ci siano altre occasioni.
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