Rettangolo inscritto in un altro rettangolo

[desko]

Problema che mi ha posto un collega che deve disegnare al CAD un pezzo meccanico.

Per rettangolo inscritto in un altro rettangolo intendo dire che ha i 4 vertici uno su ciascuno dei lati dell'altro rettangolo.
Ciò detto il problema è questo: dato un rettangolo di lati noti, voglio inscriverci un altro rettangolo di cui conosco un lato, quindi quello che devo ricavare è l'altro lato e l'inclinazione fra i due rettangoli.

Ci sto giocando un po' con Cabri e si vede che la soluzione è unica, ma non sono riuscito a realizzare una costruzione che risolva il problema.
Ho provato a fare due conti, ma arrivo ad un'equazione trigonometrica in cui non riesco a ricavare l'angolo incognito.
Ho provato a mettere l'equazione di cui sopra in Mathematica, ma mi ha sputato fuori 4 soluzioni ciascuna lunga come un foglio A4...

I possibili approcci che ho pensato sono:
- costruisco il parallelogramma inscritto a partire dal lato noto e muovendo questo lato vedo quando questo diventa un rettangolo;
- come variante vedo quando le due diagonali diventano uguali;
- costruisco il trapezio rettangolo inscritto usando il lato noto come altezza e muovendolo vedo quando diventa un rettangolo.

[Tul1]

Ciao! Allora, cediamo di impostare un sistema a 5 incognite, siano $a$, $b$ i lati del retangolo esterno e $c$ un lato di quello inscritto:

$a=a_1+a_2$ Ossia un lato del rettangolo grande è uguale alla somma delle 2 parti in cui lo divide il vertice di quello inscritto!
$b=b_1+b_2$ Vedi sopra con l'altro lato del rettangolo!
$(a_1)^2+(b_1)^2=c^2$ Se fai il disegno lo capisci, $c$ è il lato di quello interno!
$(a_2)^2+(b_2)^2=d^2$ Come sopra, però $d$ non lo conosciamo!
$(b_1-b_2)^2+a^2=c^2+d^2$ Anche questo lo capisci a disegno fatto, dicviamo che serve a dire al sistema "quello dentro è un rettangolo!", per le condizioni di prima potreva essere tranquillamente un parallelogramma!

Il sistema con le incognite $a_1, a_2, b_1, b_2, d$ è abbastanza brutto, ma non impossibile!
Poi con carnot ti puoi trovare poi gli angoli!

[giammaria2]

Tul, ma hai provato a risolvere il tuo sistema? Si ottiene un'equazione di quarto grado e non si procede oltre; penso che l'unico metodo possibile sia una soluzione numerica approssimata. Se la soluzione con Cabri è unica, questo può essere dovuto al fatto che una sola delle soluzioni soddisfi ai vincoli geometrici (realtà e positività di tutte le incognite).
Suggerisco inoltre di sostituire le ultime due equazioni con $a_1: b_1=b_2: a_2$, deducibile dalla similitudina fre i triangoli di cateti $a_1,b_1$ e $a_2, b_2$.

[giammaria2]

Esaminando ancora il problema, noto che può avere più di una soluzione, massimo tre. Infatti, posto $a_1=x$ e $b_1=y$, occorre risolvere il sistema
$x^2+y^2=c^2$
$x^2-y^2-ax+by=0$
con le limitazioni 0 < x < a, 0 < y < b.
Occorre quindi trovare le intersezioni fra la prima curva, che è una circonferenza di centro O e raggio c, e la seconda, che è un'iperbole equilatera passante per i quattro punti corrispondenti alle limitazioni. Se a > b, i suoi vertici sono $V_1(\frac(a-\sqrt(a^2-b^2)) 2, \frac b 2)$ e $V_2(\frac(a+\sqrt(a^2-b^2)) 2, \frac b 2)$.
Il ramo a sinistra dell'iperbole incontra la circonferenza in un punto del terzo quadrante (e quindi non accettabile) e in un altro, che è accettabile se e solo se c < b. Più complicate sono le intersezioni col ramo a destra, che però sicuramente esistono (e almeno una è accettabile) se $c=OV_2$. Alcuni calcoli permettono di concludere che questa ipotesi coesiste con la c < b se $\frac(a \sqrt 2) 2

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[Tul1]

"giammaria":Esaminando ancora il problema, noto che può avere più di una soluzione, massimo tre.

Non mi è molto chiaro, ora tento di mettermici d'impegno, ma credo che si possa dimostrare che la soluzione è unica (anche se all'interno il rettangolo può essere messo in due modi diversi)...prima di dire belinate ci ripenso un attimo. Tra un po' faccio sapere!