Retta tangente di due funzioni +punto di stazionarietà
Salve, non è che sapreste suggerirmi una "scaletta" per come procedere nella risoluzione di questi 2 es.?!(nb. sono dei compiti del prof,quindi i risultati non li so..ma vorrei capire di preciso come procedere in modo ordinato)
1) Trovare per quali valori delle costanti a,b,c reali i grafici delle seguenti due funzioni hanno la stessa tangente nel punto (1,2)
$f(x)=x^2 +ax +b$
$g(x)=x^3-c$
Io so che l'eq.della retta tangente è: $y-f(x_o) = f'(x_o)(x-x_o)$
e che la derivata non è altro che il coeff.della retta tangente.
Solo che non riesco a mettere ordine nella mia testa su come procedere.. se devo vedere la continuità della f(x) nell'intervallo (1,2) anche se penso di sì.. magari quello del prof è un trabocchetto! alla fine però penso di dover mettere a sistema le due funzioni e così potrò sapere per quali valori hanno la stessa tangente. No?!
2) Calcolare per quali valori del parametro reale $k !=0$ la funzione:
$f(x)=kx^2+(k+1)x + k-2$ assume,nel suo unico punto di stazionarietà $x_o$m il valore $f(x_o)=-1$.
Io ho pensato di sostituire alla x della f(x) -1,ma mi sembra troppo semplice per essere vero!anche perchè i punti di stazionarietà si trovano dopo aevr calcolato la derivata prima,averla posta =0 e poi >0 per eventuali punti di massimo e minimo e punti di flesso e invece con la derivata 2° ponendo di nuovo >0 trovo i punti di min e max assoluti. E per come è scritto il testo non si sa quali tra tutti questi è il punto di stazionarietà di questa funzione,no?? quindi forse dovrei partirci dall'inizio e una volta trovato il punto di stazionarietà faccio la sostituzione.. no?!
aiuto...-___________-' grazie per i suggerimenti e soprattutto grazie per la sopportazione!^^'
1) Trovare per quali valori delle costanti a,b,c reali i grafici delle seguenti due funzioni hanno la stessa tangente nel punto (1,2)
$f(x)=x^2 +ax +b$
$g(x)=x^3-c$
Io so che l'eq.della retta tangente è: $y-f(x_o) = f'(x_o)(x-x_o)$
e che la derivata non è altro che il coeff.della retta tangente.
Solo che non riesco a mettere ordine nella mia testa su come procedere.. se devo vedere la continuità della f(x) nell'intervallo (1,2) anche se penso di sì.. magari quello del prof è un trabocchetto! alla fine però penso di dover mettere a sistema le due funzioni e così potrò sapere per quali valori hanno la stessa tangente. No?!
2) Calcolare per quali valori del parametro reale $k !=0$ la funzione:
$f(x)=kx^2+(k+1)x + k-2$ assume,nel suo unico punto di stazionarietà $x_o$m il valore $f(x_o)=-1$.
Io ho pensato di sostituire alla x della f(x) -1,ma mi sembra troppo semplice per essere vero!anche perchè i punti di stazionarietà si trovano dopo aevr calcolato la derivata prima,averla posta =0 e poi >0 per eventuali punti di massimo e minimo e punti di flesso e invece con la derivata 2° ponendo di nuovo >0 trovo i punti di min e max assoluti. E per come è scritto il testo non si sa quali tra tutti questi è il punto di stazionarietà di questa funzione,no?? quindi forse dovrei partirci dall'inizio e una volta trovato il punto di stazionarietà faccio la sostituzione.. no?!
aiuto...-___________-' grazie per i suggerimenti e soprattutto grazie per la sopportazione!^^'
Risposte
Inanzitutto sai che entrambe passano per $(1,2)$ quindi hai già una condizione sui parametri. (e riesci già a trovare il punto c). poi calcoli la derivata,e trovi $f'(x)$ e $g'(x)$. La calcoli nel punto 1, e poni uguali le due derivate,e troverai una seconda condizione. a questo punto sei apposto,perchè hai un sistema di due equazioni a due incognite.
scusa,potresti riscriver meglio?mi spunta tutto strano..
niente,risolto!ora spunta bene..mah!o.O
per il secondo problema,devi inanzitutto trovare,parametricamente,il punto di stazionarietà(che sai esserci quando la derivata si annulla). Quindi,calcolata $f'(x)=2kx+k+1$, la poni uguale a zero e trovi un valora di x,che è proprio il tuo $x_0$. Sostutisci questo punto nella funzione(perchè tu vuoi trovare $f(x_0)$ e sai solo che $f'(x_0)=0$). E poi poni $f(x_0)=-1$ trovandoti il parametro $k$
scusa un attimo.. per il 1°tu hai detto che so che entrambe passano per (1,2) quindi ho la cond.sui parametri. Intendi dire che sostituisco ad "a=1" e a "b=2"?!
Mmm.. non riesco a venirne fuori.. potresti provare a rispiegarlo?!=(
(1,2) appartiene ad entrambe le funzioni, cioè
$f(1)=2$ quindi $1+a +b=2$
$g(1)=2$ quindi $1^3-c=2$
$f(1)=2$ quindi $1+a +b=2$
$g(1)=2$ quindi $1^3-c=2$
Ok,mi sono trovata C (c=-1) e ho calcolato le derivate di entrambe:
$f'(x)=2x+a+b$ e $g'(x)=3x^2-c$
ho anche calcolato la derivata nel punto 1 e ottengo: f'(1)=2+a+b e g'(1)=3 -c
e adesso devo mettere a sistema queste due e trovarmi i valori di a e b???
$f'(x)=2x+a+b$ e $g'(x)=3x^2-c$
ho anche calcolato la derivata nel punto 1 e ottengo: f'(1)=2+a+b e g'(1)=3 -c
e adesso devo mettere a sistema queste due e trovarmi i valori di a e b???
$f'(x)=2x+a+b$ questa derivata è sbagliata b è una costante, quindi nella derivata si annulla e allo stesso modo $g'(x)=3x^2-c$ è sbagliata
le derivate corrette sono $f'(x)=2x+a$ e $g'(x)=3x^2$
calcola $f'(1)=2+a$ e $g'(1)=3 $
e adesso metti a sistema $2+a=3$ con $f(1)=2$ e trovi a e b
le derivate corrette sono $f'(x)=2x+a$ e $g'(x)=3x^2$
calcola $f'(1)=2+a$ e $g'(1)=3 $
e adesso metti a sistema $2+a=3$ con $f(1)=2$ e trovi a e b
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