Retta tangente al grafico all'origine
Buongiorno a tutti,
avrei bisogno di qualcuno che mi spiegasse la risoluzione di esercizi analoghi al seguente.. il modo di procedere.. dice:
"data la funzione $f(x)= x/(1-x^2)$ determinarne l'equazione della retta tangente al grafico nell'origine".
Sinceramente più di determinare il C.E. non so come muovermi..
avrei bisogno di qualcuno che mi spiegasse la risoluzione di esercizi analoghi al seguente.. il modo di procedere.. dice:
"data la funzione $f(x)= x/(1-x^2)$ determinarne l'equazione della retta tangente al grafico nell'origine".
Sinceramente più di determinare il C.E. non so come muovermi..
Risposte
Ciao DaFnE,
allora, la prima osservazione da fare è che la curva passa effettivamente per l'origine (come facciamo a farlo vedere? semplice, prendiamo $x=0$ - che è nel dominio di $f(x)$ - e lo sostituiamo nell'espressione di $y$, trovando effettivamente il punto $O(0,0)$).
Accertato questo, passiamo alla retta tangente. Se la retta è tangente nell'origine significa che la retta passerà per l'origine. Come sarà quindi la sua equazione generica?
Comincia a dirmi questo, poi vediamo come proseguire...
Paolo
allora, la prima osservazione da fare è che la curva passa effettivamente per l'origine (come facciamo a farlo vedere? semplice, prendiamo $x=0$ - che è nel dominio di $f(x)$ - e lo sostituiamo nell'espressione di $y$, trovando effettivamente il punto $O(0,0)$).
Accertato questo, passiamo alla retta tangente. Se la retta è tangente nell'origine significa che la retta passerà per l'origine. Come sarà quindi la sua equazione generica?
Comincia a dirmi questo, poi vediamo come proseguire...
Paolo
L'equazione della retta passante per l'origine è:
y=mx
no?!
y=mx
no?!
"DaFnE":
L'equazione della retta passante per l'origine è:
y=mx
no?!
Sì, esatto. Bene, ora immagino tu abbia studiato un po' di Analisi, dico bene? Hai studiato le derivate, suppongo... Sapresti dirmi quale legame c'è fra $m$ e $f(x)$?
Si,le ho fatte per passare questo benedetto esame di matematica!!! 
Praticamente la derivata, o meglio il rapporto incrementale, coincide con il coefficiente angolare della retta secante tra 2 punti (questo per spiegare il significato geometrico di derivata). Quindi il legame tra m ed f(x) è che m sarebbe la derivata prima della funzione.. no???o.O
Praticamente la derivata, o meglio il rapporto incrementale, coincide con il coefficiente angolare della retta secante tra 2 punti (questo per spiegare il significato geometrico di derivata). Quindi il legame tra m ed f(x) è che m sarebbe la derivata prima della funzione.. no???o.O
"DaFnE":
Si,le ho fatte per passare questo benedetto esame di matematica!!!
Praticamente la derivata, o meglio il rapporto incrementale, coincide con il coefficiente angolare della retta secante tra 2 punti (questo per spiegare il significato geometrico di derivata). Quindi il legame tra m ed f(x) è che m sarebbe la derivata prima della funzione.. no???o.O
Ehi, calma calma. Vedo un po' di confusione, se posso permettermi. Allora la derivata NON è il rapporto incrementale, bensì il limite del rapporto incrementale. E il rapporto incrementale geometricamente è il coefficiente angolare della secante, mentre la derivata (proprio perchè è un limite) è il coeff angolare della tangente in un punto.
Al di là di queste disquizioni teoriche che credo ti importino ben poco, il coefficiente angolare della retta che stai cercando tu è la derivata della funzione $f(x)$, calcolata in...
Sapresti andare avanti da sola?
Mmm.. non riesco a mettere insieme le due cose!
Intanto la derivata della f(x) devo trovarla,giusto??? quindi poi non dovrei mettere a sistema la derivata di f(x) con l'eq.generica della retta passante per l'origine???
Aiutino: il coefficiente angolare della tangente a una curva in punto è la derivata della funzione (che rappresenta la curva) calcolata in quel punto. Nel tuo caso, qual è il punto di tangenza? Qual è la curva?
"DaFnE":
Intanto la derivata della f(x) devo trovarla,giusto??? quindi poi non dovrei mettere a sistema la derivata di f(x) con l'eq.generica della retta passante per l'origine???
Sì per la prima domanda. Assolutamente no per la seconda.
Il punto non è $f'(0)$?! la curva è $f(x)$ che sappiamo passare per l'origine secondo il ragionamento che hai esposto tu stesso nel primo post. Ho sbagliato,vero???>.<
Il punto è l'origine. Ottieni $m=f'(0)$.
$f'(0)$ è corretto (è il tuo $m$). dopo aver trovato la derivata (vedi anche se è ben definita in $x=0$), basta trovare il valore che $f'(x)$ assume per $x=0$.
spero sia chiaro. ciao.
spero sia chiaro. ciao.
Si, in x=0 è definita la derivata, perchè gli unici punti in cui si annulla è x=+/-1
Quindi basta sostituire 0 alla derivata prima della funzione ed è fatta???
Quindi basta sostituire 0 alla derivata prima della funzione ed è fatta???
sì, hai l'equazione $y=f'(0)x$
Ah!chissà che andavo a cercare io....!o.O
Quindi alla fine i passaggi da ricordare sono:
dominio chiaramente, f(0) per vedere da dove passa la funzione in questione, calcolo della derivata e calcolo della derivata (sempre prima chiaramente) in f'(0). Giusto??
Ps. scusate,ma esercitandosi da soli, non ho altri modi per aver la certezza se ho capito bene varie cose.. ^^'
Quindi alla fine i passaggi da ricordare sono:
dominio chiaramente, f(0) per vedere da dove passa la funzione in questione, calcolo della derivata e calcolo della derivata (sempre prima chiaramente) in f'(0). Giusto??
Ps. scusate,ma esercitandosi da soli, non ho altri modi per aver la certezza se ho capito bene varie cose.. ^^'
"DaFnE":
"data la funzione $f(x)= x/(1-x^2)$ determinarne l'equazione della retta tangente al grafico nell'origine".
Propongo una soluzione senza derivate:
$f(x) = x/(1-x^2) = x * 1/(1-x^2)$
dal momento che, nell'intorno dell'origine risulta
$1/(1-x^2) = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...$
abbiamo:
$f(x) = x * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...)$
ovvero
$f(x) = x + x^3 + x^5 + x^7 + ...$
la retta tangente nell'origine si ottiene trascurando i termini di grado maggiore di 1:
si ottiene quindi la retta $y=x$.
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