Retta tangente a un'integrale

[fede-1244]

Salve a tutti
ho il seguente problema:
Determinare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione $F(x)=\int_1^x lnt dt$ nel punto $x0=2$.


Non so proprio come muovermi, qualcuno potrebbe spiegarmi passaggio per passaggio la procedura?

[mauri54]

L'equazione della retta tangente al grafico della funzione $F$ nel punto $x_0=2$ è della forma $ y-y_0=F'(x_0)(x-x_0) $.
Intanto, esiste la derivata prima della funzione $F$ nel punto $x_0=2$?
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale sappiamo che la funzione integrale è derivabile ove l'integranda è continua. Poiché $ f(t)=lnt $ è continua in $ (0,+\infty) $ allora in tale intervallo la funzione integrale $F$ è derivabile. In particolare è derivabile in $x=2$ e la sua derivata è $F'(2)=f(2)= ln(2) $.

Tuttavia questa procedura non è esaustiva per questo esercizio poiché bisognerebbe calcolarsi anche
$ F(2)=\int_{1}^{2}\lnx\ dx=[x\lnx]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}x\cdot\frac{1}{x}\ dx=2ln2-ln1-\int_{1}^{2}1\ dx=2ln2-[x]_{1}^{2}=2ln2-ln1-(2-1)=2ln2-1 $ .

Di conseguenza, la retta tangente ha equazione $y-(2ln2-1)=\ln(2)(x-2)$, ossia $y=x\ln(2)-1$

[fede-1244]

Grazie mille della risposta esaustiva <3 sei stato molto d'aiuto!!