Retta tangente a due curve diverse
Salve 
conoscete qualche modo semplice ed intuitivo per trovare l'equazione di una retta che sia tangente sia alla curva di equazione y=e^x che a y=e^(2x) ?
Il prof ci ha assegnato questo problema ma siamo giunti ad un sistema di equazioni che non siamo capaci di risolvere XD grazie in anticipo !
conoscete qualche modo semplice ed intuitivo per trovare l'equazione di una retta che sia tangente sia alla curva di equazione y=e^x che a y=e^(2x) ? Il prof ci ha assegnato questo problema ma siamo giunti ad un sistema di equazioni che non siamo capaci di risolvere XD grazie in anticipo !
Risposte
mmm
bel problema, magari la soluzione è facile: basta trovarla.
Avrei una idea, ma non so se è giusta. Va bene se il punto di tangenza delle due curve è lo stesso?
bel problema, magari la soluzione è facile: basta trovarla.
Avrei una idea, ma non so se è giusta. Va bene se il punto di tangenza delle due curve è lo stesso?
"gio73":
mmm
bel problema, magari la soluzione è facile: basta trovarla.
Avrei una idea, ma non so se è giusta. Va bene se il punto di tangenza delle due curve è lo stesso?
Anche io ci avevo pensato, ma non sono riuscito a venirne a capo. Il punto in questione sarebbe $(0;1)$?
Ci ho pensato anche io ma non è così XD è tangente alle due curve ma non nel loro punto di intersezione
Dite le vostre idee, poi ci confrontiamo.
Sarebbe da trovare due punti $P_1(x_1;y_1) in e^x$ e $P_2(x_2;y_2) in e^(2x)$ tali che:
le due rette $y-y_1=e^(x_1)(x-x_1)$ e $y-y_2=2e^(2x_2)(x-x_2)$ siano la stessa retta. Giusto?
Edit: più precisamente potremmo scrivere $P_1(x;e^x)$ e $P_2(x;e^(2x))$.
le due rette $y-y_1=e^(x_1)(x-x_1)$ e $y-y_2=2e^(2x_2)(x-x_2)$ siano la stessa retta. Giusto?
Edit: più precisamente potremmo scrivere $P_1(x;e^x)$ e $P_2(x;e^(2x))$.
Io faccio un'altra domanda: siamo sicuri che esista una retta tangente ad entrambe le curve?
Ho ragionato così: se questa retta è tangente ad entrambe le curve significa che le due derivate (coefficienti angolari della tangente nel punto) devono essere uguali, quindi$$
e^x = 2e^{2x} \Rightarrow x = \ln \frac{1}{2}
$$Adesso scrivo la tangente alla curva $e^x$ nel punto \(\left(\ln \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\) che viene$$
y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left(x - \ln \frac{1}{2}\right).
$$ Tuttavia questa retta non è tangente all'altra curva.
Vedete qualche errore in questo ragionamento?
Ho ragionato così: se questa retta è tangente ad entrambe le curve significa che le due derivate (coefficienti angolari della tangente nel punto) devono essere uguali, quindi$$
e^x = 2e^{2x} \Rightarrow x = \ln \frac{1}{2}
$$Adesso scrivo la tangente alla curva $e^x$ nel punto \(\left(\ln \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\) che viene$$
y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left(x - \ln \frac{1}{2}\right).
$$ Tuttavia questa retta non è tangente all'altra curva.
Vedete qualche errore in questo ragionamento?
No è tutto corretto.
"burm87":
No è tutto corretto.
Ah bene!
"minomic":
[quote="burm87"]No è tutto corretto.
Ah bene!
[/quote]Nel senso che ci avevo provato anche io ottenendo la stessa cosa, forse effettivamente la tangente comune non c'è!
Non conosco il procedimento, ma la retta c'è XD il coeff angolare è uguale ad e/2 e l'ordinata all'origine a (e/2)ln(2)
Allora non so, se la tangente é comune la derivata sarà la stessa, ma uguagliando le derivate si trova un'unica soluzione. Il che significa che c'è un solo punto in cui le due derivate sono uguali e questo punto non corrisponde ad una tangente comune...
In $(0, 1)$ le due curve si intersecano, ma non hanno la stessa tangente, la prima è tangente alla retta $y=x+1$ la seconda alla $y=2x+1$. Ne possiamo dedurre che la tangente comune lo è in punti diversi. Siccome non mi sono venute idee brillanti ho pensato di trovare le tangente a ciascuna curva in un suo punto generico e poi di uguagliare coefficiente angolare e termine noto delle due rette.
Considero un punto A appartenente alla prima curva, $A(a, e^a)$, la tangente in A alla curva ha coefficiente angolare $y'(a)=e^a$, perciò la retta cercata è $y-e^a=e^a(x-a)$ da cui $y=e^ax-ae^a+e^a$
Considero un punto B sulla seconda curva $B(b, e^(2b))$, la tangente in B alla curva ha coefficiente angolare $y'(b)=2e^b$, perciò la retta cercata è $y-e^(2b)=2e^(2b)(x-b)$ da cui $y=2e^(2b) x-2be^(2b)+e^(2b)$.
Adesso basta uguagliare i coefficienti angolari e i termini noti.
La soluzione non è elegante, ma dovrebbe essere efficace.
Considero un punto A appartenente alla prima curva, $A(a, e^a)$, la tangente in A alla curva ha coefficiente angolare $y'(a)=e^a$, perciò la retta cercata è $y-e^a=e^a(x-a)$ da cui $y=e^ax-ae^a+e^a$
Considero un punto B sulla seconda curva $B(b, e^(2b))$, la tangente in B alla curva ha coefficiente angolare $y'(b)=2e^b$, perciò la retta cercata è $y-e^(2b)=2e^(2b)(x-b)$ da cui $y=2e^(2b) x-2be^(2b)+e^(2b)$.
Adesso basta uguagliare i coefficienti angolari e i termini noti.
La soluzione non è elegante, ma dovrebbe essere efficace.
In effetti esiste eccome.
Perché hai usato una sola incognita per indicare l'ascissa di due punti diversi, con ascisse diverse.
"@melia":
Perché hai usato una sola incognita per indicare l'ascissa di due punti diversi, con ascisse diverse.
Sì infatti avevo eliminato la domanda perchè mi ero accorto che era una c****ta.
@melia potresti gentilmente mostrarmi gli ultimi passaggi per giungere all'equazione della tangente ?
uguagliando i coefficienti angolari si ottiene $e^a=2e^(2b)$, passando al logaritmo $a=ln2+2b$
uguagliando i termini noti $-ae^a+e^a= -2be^(2b)+e^(2b)$, ma $e^a=2e^(2b)$, quindi sostituisco $(1-a)*2e^(2b)=(1-2b)e^(2b)$, semplifico $2-2a= 1-2b$,
Spero di non aver sbagliato i calcoli ottengo $a=1-ln2$ e $b=1/2-ln2$, perciò la tangente cercata è
$y-e^(1-ln2)=e^(1-ln2)(x-1+ln2)$ , ma $e^(1-ln2)=e*e^(ln1/2)=e/2$, perciò, sostituendo
$y=e/2*x+e/2*ln2$
uguagliando i termini noti $-ae^a+e^a= -2be^(2b)+e^(2b)$, ma $e^a=2e^(2b)$, quindi sostituisco $(1-a)*2e^(2b)=(1-2b)e^(2b)$, semplifico $2-2a= 1-2b$,
Spero di non aver sbagliato i calcoli ottengo $a=1-ln2$ e $b=1/2-ln2$, perciò la tangente cercata è
$y-e^(1-ln2)=e^(1-ln2)(x-1+ln2)$ , ma $e^(1-ln2)=e*e^(ln1/2)=e/2$, perciò, sostituendo
$y=e/2*x+e/2*ln2$
Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo