Retta tangente

[adry105]

Trovare la retta tangente all'iperbole: xy=1 e alla parabola:

[math] 4x+ \sqrt{2}y^2=0[/math]

[the.track]

Se hai fatto le derivate non dovrebbe essere un problema. Poni le equazioni delle curve in funzione di x e derivi. Poni le derivate uguali e poi in pratica hai risolto.

[adry105]

Aspetta come le pongo in funzione di x? mhh ma questo metodo vale quando ho una retta tangente a due curve??.:

[the.track]

Allora hai una funzione che è:

[math]y=\frac{1}{x}[/math]

con

[math]x\neq 0[/math]

e la seconda:

[math]y=\pm {\frac{\sqrt{-4x}}{\sqrt[4]{2}}[/math]

E derivi questa roba e le poni uguali. In quanto la retta tangente ad entrambe le curve ha sempre lo stesso coefficiente angolare.

[adry105]

E della parabola derivo quella con il più o con il meno?.. Ma poi uguagliando le derivate delle due curve mi trovo una equazione tutta in x!.. cioè il coefficiente angolare si trova rispetto al punto.. al massimo potrei calcolare la derivata della prima sostituire qui un suo punto degerico, e facendo la stessa cosa per la seconda uguagliare... Mhh ma poi per la prima dovrai dire che la funzione è derivabile per x diverso da zero, e per la seconda è derivabile per x

[the.track]

Allora per prima cosa vediamo l'iperbole.

in x=0 non è lo stesso definita infatti:

[math]0\cdot y = 1 \; \right \emptyset \forall x \in R[/math]

Quindi non ci sono problemi.

Per la seconda abbiamo:

[math]y=\pm\frac{\sqrt{-4x}}{\sqrt[4]{2}}[/math]

che da

[math]x\leq 0[/math]

.

Equivalentemente la possiamo scrivere:

[math]x=-\frac{\sqrt{2}y^2}{4}[/math]

Che guarda caso è definita per

[math]x\leq 0[/math]

.

Quindi se teniamo in considerazione:

[math]y=\pm\frac{\sqrt{-4x}}{\sqrt[4]{2}}[/math]

deriviamo e otteniamo:

[math]y_2'=\mp \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot \( \frac{2}{\sqrt{-4x}}\)[/math]

[math]y_1=-\frac{1}{x^2}[/math]

Adesso prendi e metti a sistema e trovi per quali valori di x le curve hanno lo stesso coefficiente angolare. Trova la coordinata in quel punto delle due curve e quindi l'equazione della retta. Se la retta tangente che trovi per l'iperbole ha stessa equazione della retta tangente alla parabola con asse parallelo all'asse x, hai risolto l'esercizio.

Ovviamente devi studiare separatamente la parabola nei casi ci sia + e nei casi ci sia -, e mettere a sistema separatamente, i due pezzi di parabola con l'iperbole.

Oppure come avevi suggerito tu, sfruttando l'equazione di una retta generica.

Retta generica che per comodità scriviamo:

[math]x=my+q[/math]

La metto a sistema con la parabola:

[math]\begin{case}
x=my+q\\
x=-\frac{\sqrt{2}y^2}{4}
\end{case}[/math]

[math]my+q=-\frac{\sqrt{2}y^2}{4}[/math]

Da cui ricavo:

[math]q=\frac{m^2}{\sqrt{2}}[/math]

Bisogna però ricordarsi che abbiamo calcolato il

[math]\Delta=0[/math]

per y, e non per x, pertanto quel q sarà il valore per il quale la retta interseca l'asse x.

A questo punto per coerenza direi di scrivere l'equazione dell'iperbole così:

[math]x=\frac{1}{y}[/math]

Mettiamo a sistema e otteniamo:

[math]\begin{case}
x=my+q\\
x=\frac{1}{y}
\end{case}[/math]

Ricavando q:

[math]q^2+m=0\\
\\
q^2=-m[/math]

Da cui

[math]m< 0[/math]

[math]q=\pm\sqrt{-m}[/math]

Dopodiché abbiamo:

[math]\pm\sqrt{-m}=\frac{m^2}{2}[/math]

[math]\sqrt{-m}=\frac{m^2}{2}[/math]

[math]2\sqrt{-m}=m^2[/math]

Ecco, si tratterebbe di risolvere quell'equazione in m, a meno di errori miei. Poi ricordati che l'equazione che trovi sarà:

[math]x=my+q[/math]

Adesso ricontrollo i calcoli, e vedo se ho fatto sbagli o altro.