Relazioni di equivalenza ex2
Sia α l’insieme dei punti di un piano e $r$ una sua retta. Definiamo nell’insieme α-r la relazione:
$PRQ <=>$ il segmento $PQ$ non interseca $r$
È una relazione di equivalenza? Quali sono le classi di equivalenza?
Prima di tutto una cosa che non ho capito bene: α-r è inteso come insieme differenza tra i punti del piano e i punti della retta? Se è vero vorrebbe dire che, come nell’esercizio precedente, esisterebbe un insieme A che è appunto la differenza α-r. Detto questo:
Riflessiva. Si, se considero un un punto $d$ $in$ $K$ ($K$ insieme dei punti del piano privato dei punti della retta $r$) vale $dRd$ in quanto in segmento $\bar{dd}$ non intersecherà mai $r$.
Simmetrica. Se il segmento $\bar{PQ}$ non interseca $r$ nemmeno il $\bar{QP}$ interseca $r$. $PRQ$ $rArr$ $QRP$.
Transitiva. Questa mi risulta più difficile da dimostrare. Se considero il punto medio del segmento $\bar{PO}$ vale anche $\bar{OQ}$ essendo gli estremi del segmento $\bar{PQ}$ posso scrivere che $PRO$ $^^$ $ORQ$ $rArr$ $PRQ$
Le classi di equivalenza sono rappresentate da tutti i punti dei segmenti che giacciono sul piano dell’insieme $A$ che non intersecano $r$.
Spero di non aver scritto troppe oscenità. Grazie in anticipo a chiunque commenterà e discuterà questo esercizio.
$PRQ <=>$ il segmento $PQ$ non interseca $r$
È una relazione di equivalenza? Quali sono le classi di equivalenza?
Prima di tutto una cosa che non ho capito bene: α-r è inteso come insieme differenza tra i punti del piano e i punti della retta? Se è vero vorrebbe dire che, come nell’esercizio precedente, esisterebbe un insieme A che è appunto la differenza α-r. Detto questo:
Riflessiva. Si, se considero un un punto $d$ $in$ $K$ ($K$ insieme dei punti del piano privato dei punti della retta $r$) vale $dRd$ in quanto in segmento $\bar{dd}$ non intersecherà mai $r$.
Simmetrica. Se il segmento $\bar{PQ}$ non interseca $r$ nemmeno il $\bar{QP}$ interseca $r$. $PRQ$ $rArr$ $QRP$.
Transitiva. Questa mi risulta più difficile da dimostrare. Se considero il punto medio del segmento $\bar{PO}$ vale anche $\bar{OQ}$ essendo gli estremi del segmento $\bar{PQ}$ posso scrivere che $PRO$ $^^$ $ORQ$ $rArr$ $PRQ$
Le classi di equivalenza sono rappresentate da tutti i punti dei segmenti che giacciono sul piano dell’insieme $A$ che non intersecano $r$.
Spero di non aver scritto troppe oscenità. Grazie in anticipo a chiunque commenterà e discuterà questo esercizio.
Risposte
Per le proprietà riflessiva e simmetrica il discorso va bene.
Per la proprietà transitiva
In punto medio del segmento non c'entra.
Se P sta in relazione con Q e Q sta in relazione con S allora P sta in relazione con S, perché, se PQS non sono allineati, una retta non passante per i vertici di un triangolo o interseca due lati o non ne interseca nessuno, quindi se $r$ non interseca PQ né QS, non può intersecare neppure PS. Se i tre punti sono allineati la dimostrazione è ancora più immediata perché i segmenti sono uno il prolungamento dell'altro.
Le classi di equivalenza sono i due semipiani individuati sul piano $alpha$ dalla retta $r$.
Per la proprietà transitiva
In punto medio del segmento non c'entra.
Se P sta in relazione con Q e Q sta in relazione con S allora P sta in relazione con S, perché, se PQS non sono allineati, una retta non passante per i vertici di un triangolo o interseca due lati o non ne interseca nessuno, quindi se $r$ non interseca PQ né QS, non può intersecare neppure PS. Se i tre punti sono allineati la dimostrazione è ancora più immediata perché i segmenti sono uno il prolungamento dell'altro.
Le classi di equivalenza sono i due semipiani individuati sul piano $alpha$ dalla retta $r$.
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