Relazione simmetrica o antisimmetrica

[Marco1985Mn]

Rieccomi con un sacco di dubbi sulle proprietà delle relazioni:
L'esercizio recita: Stabilisci quale delle seguenti relazioni godono della proprietà simmetrica o antisimmetrica: insieme $A={a,b,c,d}$ $R_1= {(a;a)(b;c)(c;c)(c;b)(d;a)}$

prima di rispondere cito la definizione del libro di antisimmetrico:
"per ogni coppia $(x;y)$ della Relazione, con $x!=y$, non è mai presente la coppia $(y;x)$

se vedo con $x!=y$ direi subito che $R_1$ non è antisimmetrico, visto che il primo termine della relazione è $(a;a)$ e il terzo è $(c;c)$

il libro però cita come esempio la rappresentazione di una relazione antisimmetrica nell'insieme ${a,b,c}$
${(a;a)(a;b)(c;a)(b;c)}$

ha appena scritto che $x!=y$ come può essere antisimmetrica quando è presente $(a;a)$

tralasciando questo dubbio invece, non essendo presente la coppia $(a;d)$ ,al contrario di quanto affermato sopra azzarderei che la relazione è antisimmetrica.
Dove sbaglio?
Grazie mille

[@melia]

La tua relazione non è simmetrica: c'è la coppia$(d, a)$ ma non c'è la coppia $(a, d)$

La tua relazione non è antisimmetrica perché c'è sia la coppia $(b, c)$ che la coppia $(c, b)$

La definizione di antisimmetrica dice che devi lasciar perdere le coppie $(x, x)$ che quelle sono oggetto della proprietà riflessiva e concentrarti su quelle con variabili diverse, se è presente la coppia $(x, y)$ non deve esserci la coppia $(y, x)$.