Relazione di ordine
Sia A l’insieme dei sottomultipli di 60. In A è definita la relazione:
$xRy$ $rArr$ $x$ è multiplo di $y$
Si verifichi che è una relazione di ordine largo, Si rappresenti con un diagramma a frecce. È una relazione di ordine totale?
L’insieme $A$ dei sottomultipli di 60 ha come elementi:
$A={1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60}$
Se $x$ è multiplo di $y$ $x=k*y$ $(kinNN)$
Il prodotto cartesiano della relazione sarà:
$R={(1,1);(2,1);(3,1);(4,1);(5,1);(6,1);(10,1);(12,1);(15,1);(20,1);(30,1);(2,2);(3,3);(4,2);(4,4); (5,5);(6,2);(6,3);(6,6);(10,2);(10,5);(10,10);(12,2);(12,3);(12,4);(12,6);(12,12);(15,3);(15,5);(20,2); (20,4);(20,5);(20,10);(30,2),(30,5);(30,6);(30,10);(30,15);(30,30);(60,2);(60,2);(60,3);(60,4);(60,5); (60,6);(60,10);(60,15);(60,20);(60,30);(60,60)$
Omettendo il grafico a frecce, la relazione gode delle seguenti proprietà:
Riflessiva.
$xRx$ $AA$ $x$ $in$ $A$
$1R1$
$(1,1)$ $in$ $R$
Antisimmetrica.
$xRy$ $vv$ $x$ $!=$ $y$ $=>$ $y$ non è in relazione con $x$
$AA$ $x,y$ $in$ $A$
$2R1$ $vv$ $2$ $!=$ $1$ $=>$ $1$ non è in relazione con $2$
$(2,1)$ $in$ $R$ $(1,2)$ $notinn$ $R$
Transitiva.
$xRy$ $vv$ $yRz$ $=>$ $xRz$ $AA$ $x,y,z$ $in$ $A$
$20R4$ $vv$ $4R2$ $=>$ $20R2$
$(20,4)$ $in$ $R$ $(4,2)$ $in$ $R$ $(20,2)$ $in$ $R$
Se fino a questo punto lo svolgimento è esatto, spero, posso affermare che si tratta di una relazione di ordine largo perché gode della proprietà riflessiva, ma proteste spiegarmi perché non è totale? Ho qualche problema a comprendere quando è totale o parziale.
Grazie.
$xRy$ $rArr$ $x$ è multiplo di $y$
Si verifichi che è una relazione di ordine largo, Si rappresenti con un diagramma a frecce. È una relazione di ordine totale?
L’insieme $A$ dei sottomultipli di 60 ha come elementi:
$A={1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60}$
Se $x$ è multiplo di $y$ $x=k*y$ $(kinNN)$
Il prodotto cartesiano della relazione sarà:
$R={(1,1);(2,1);(3,1);(4,1);(5,1);(6,1);(10,1);(12,1);(15,1);(20,1);(30,1);(2,2);(3,3);(4,2);(4,4); (5,5);(6,2);(6,3);(6,6);(10,2);(10,5);(10,10);(12,2);(12,3);(12,4);(12,6);(12,12);(15,3);(15,5);(20,2); (20,4);(20,5);(20,10);(30,2),(30,5);(30,6);(30,10);(30,15);(30,30);(60,2);(60,2);(60,3);(60,4);(60,5); (60,6);(60,10);(60,15);(60,20);(60,30);(60,60)$
Omettendo il grafico a frecce, la relazione gode delle seguenti proprietà:
Riflessiva.
$xRx$ $AA$ $x$ $in$ $A$
$1R1$
$(1,1)$ $in$ $R$
Antisimmetrica.
$xRy$ $vv$ $x$ $!=$ $y$ $=>$ $y$ non è in relazione con $x$
$AA$ $x,y$ $in$ $A$
$2R1$ $vv$ $2$ $!=$ $1$ $=>$ $1$ non è in relazione con $2$
$(2,1)$ $in$ $R$ $(1,2)$ $notinn$ $R$
Transitiva.
$xRy$ $vv$ $yRz$ $=>$ $xRz$ $AA$ $x,y,z$ $in$ $A$
$20R4$ $vv$ $4R2$ $=>$ $20R2$
$(20,4)$ $in$ $R$ $(4,2)$ $in$ $R$ $(20,2)$ $in$ $R$
Se fino a questo punto lo svolgimento è esatto, spero, posso affermare che si tratta di una relazione di ordine largo perché gode della proprietà riflessiva, ma proteste spiegarmi perché non è totale? Ho qualche problema a comprendere quando è totale o parziale.
Grazie.
Risposte
Anch'io ... 
... comunque è totale quando puoi confrontare tutti gli elementi di $A$ con tutti gli elementi di $A$ ... per esempio se prendiamo $4$ e $15$, sono elementi di $A$ ma non esiste né $(4,15)$ né $(15,4)$, non sono confrontabili (in base a questa relazione ovviamente) ... in sostanza, quando manca la "totalità", non puoi metterli tutti "in fila" come faresti per l'ordine usuale dei numeri naturali (il $4$ lo metti prima o dopo il $15$? Non si sa ... 
)
Se la relazione d'ordine fosse totale o c'è la coppia $(4,15)$ o c'è la coppia $(15,4)$ e quindi sapresti sempre quale mettere "prima".
Cordialmente, Alex
... comunque è totale quando puoi confrontare tutti gli elementi di $A$ con tutti gli elementi di $A$ ... per esempio se prendiamo $4$ e $15$, sono elementi di $A$ ma non esiste né $(4,15)$ né $(15,4)$, non sono confrontabili (in base a questa relazione ovviamente) ... in sostanza, quando manca la "totalità", non puoi metterli tutti "in fila" come faresti per l'ordine usuale dei numeri naturali (il $4$ lo metti prima o dopo il $15$? Non si sa ... )Se la relazione d'ordine fosse totale o c'è la coppia $(4,15)$ o c'è la coppia $(15,4)$ e quindi sapresti sempre quale mettere "prima".
Cordialmente, Alex
In sostanza l’esercizio è stato eseguito correttamente?
Grazie mille Alex.
Grazie mille Alex.
La proprietà antisimmetrica la conoscevo in maniera differente, così come l'hai scritta non mi è chiarissima ... però, soprattutto, la dimostrazione con i numeri (cioè usando casi particolari) non dimostra niente, devi dimostrarlo in generale ...
Se i sottomultipli fossero stati di 64 invece che di 60, la relazione sarebbe stata totale, o sbaglio? Mi spiego: l'insieme $A$ dei sottomultipli di 64 è:
$A={1;2;4;8;16;32;64}$
In questo caso è confrontabile?
$A={1;2;4;8;16;32;64}$
In questo caso è confrontabile?
Come la esprimi la proprietà antisimmetrica rispetto alla mia?
Nella transitiva e antisimmetrica ho sbagliato: ho messo $vv$ al posto di $^^$.
Scusate, sono un novello.
Scusate, sono un novello.
"GualtieroMalghesi":
Se i sottomultipli fossero stati di 64 invece che di 60,
Per me sì ... però sentirei altri ...
Per quel che ricordo, la proprietà antisimmetrica la ricordo così $(xRy ^^ yRx)\ =>\ x=y$
Comunque, ripeto, il problema più grosso in quella dimostrazione è che non è una dimostrazione ...
Secondo te cosa c’è che non va? Perché non è una dimostrazione?
Perché hai dimostrato la validità di ogni proprietà per un solo, unico caso mentre devi dimostrarlo per tutti i casi possibili.
Ora, nel caso in questione, un insieme finito e con pochi elementi, se ci si dota di pazienza si può anche fare, un caso alla volta, ma in generale non va ben (e sicuramente non funziona quando l'insieme è infinito).
Ora, nel caso in questione, un insieme finito e con pochi elementi, se ci si dota di pazienza si può anche fare, un caso alla volta, ma in generale non va ben (e sicuramente non funziona quando l'insieme è infinito).
Come ti è già stato detto (anche nell'altro thread, doppio) non hai dimostrato niente perché: o dimostri le proprietà per tutti i casi possibili (cosa fattibile solo con pochi elementi, forse in questo caso ma non l'hai fatto) oppure lo dimostri in generale (e non per un singolo caso)
Per esempio la riflessività ...
$a$ é in relazione con $b$ se $a$ è multiplo di $b$ ovvero $a=kb$ con $k$ intero quindi per provare la riflessività dobbiamo dimostrare che ogni elemento di $A$ è multiplo di sé stesso: basta prendere $k=1$ per rendere sempre vero questo.
Per l'antisimmetria ...
Se nella nostra relazione abbiamo sia $a=kb$ sia $b=ha$ allora perché la relazione sia antisimmetrica deve essere anche $a=b$.
Allora $a=kb=kha\ ->\ a/a=hk\ ->\ 1=hk$, ne consegue $h=1$ e $k=1$ ovvero $a=b$
Per la transitività ...
Se nella nostra relazione abbiamo sia $a=kb$ sia $b=hc$ allora perché la relazione sia transitiva deve essere anche $a=pc$
Allora $a=kb=khc=pc$
Chiaro?
Cordialmente, Alex
Per esempio la riflessività ...
$a$ é in relazione con $b$ se $a$ è multiplo di $b$ ovvero $a=kb$ con $k$ intero quindi per provare la riflessività dobbiamo dimostrare che ogni elemento di $A$ è multiplo di sé stesso: basta prendere $k=1$ per rendere sempre vero questo.
Per l'antisimmetria ...
Se nella nostra relazione abbiamo sia $a=kb$ sia $b=ha$ allora perché la relazione sia antisimmetrica deve essere anche $a=b$.
Allora $a=kb=kha\ ->\ a/a=hk\ ->\ 1=hk$, ne consegue $h=1$ e $k=1$ ovvero $a=b$
Per la transitività ...
Se nella nostra relazione abbiamo sia $a=kb$ sia $b=hc$ allora perché la relazione sia transitiva deve essere anche $a=pc$
Allora $a=kb=khc=pc$
Chiaro?
Cordialmente, Alex
Scusa ma la riflessiva non sarebbe:
$a=k*a$ Per $k=1$ $a=1*a$ quindi $a=a$
Per la dimostrazione della transitiva hai ragionato in questi termini?
Se $a=k*b$ e $b=h*c$ allora $c=p*a$
$c=k*h*p*c$ $rarr$ $c/c=k*h*p$
$1=k=h=p$
Scusami ancora per il doppio tread, e grazie per la tua disponibilità.
$a=k*a$ Per $k=1$ $a=1*a$ quindi $a=a$
Per la dimostrazione della transitiva hai ragionato in questi termini?
Se $a=k*b$ e $b=h*c$ allora $c=p*a$
$c=k*h*p*c$ $rarr$ $c/c=k*h*p$
$1=k=h=p$
Scusami ancora per il doppio tread, e grazie per la tua disponibilità.
Se posso permettermi vorrei farti notare come il libro di testo risolve gli esercizi riguardanti le relazioni. Allego un file come esempio.
Ps. Io per forza di cose ho dovuto scrivere tutte le coppie del prodotto cartesiano della relazione $R$, perché l’esercizio chiedeva di disegnare il diagramma a frecce
Ps. Io per forza di cose ho dovuto scrivere tutte le coppie del prodotto cartesiano della relazione $R$, perché l’esercizio chiedeva di disegnare il diagramma a frecce
"GualtieroMalghesi":
Scusa ma la riflessiva non sarebbe:
$a=k*a$ Per $k=1$ $a=1*a$ quindi $a=a$
Ed io cosa ho scritto?
"GualtieroMalghesi":
Per la dimostrazione della transitiva hai ragionato in questi termini?
No, è sbagliato, rileggi ciò che ho scritto
Nessuno ha mai contestato come sbagliato il fatto che tu abbia scritto tutte le coppie possibili, semplicemente ti faccio notare che:
- non sempre è possibile (insieme infinito per esempio)
- anche quando l'insieme è finito, l'elencazione delle coppie non è fattibile (per esempio insiemi con migliaia di elementi)
- per provare le (eventuali) proprietà di una relazione questa va dimostrata per tutti gli elementi della relazione; questa dimostrazione può essere fatta in generale (ed è il metodo abituale) oppure elemento per elemento, ma tu non hai fatto né l'una né l'altra cosa, chiaro?
Nell'esempio che hai allegato più che provare proprietà vengono smentite proprietà (3 su 4); per smentire una proprietà basta trovare un unico, singolo caso che contraddice la tesi, ti è chiaro questo? Mentre per provarla, devi farlo per tutti gli elementi; infatti nell'allegato si è dimostrata la validità dell'unica proprietà in modo generale e non in qualche caso particolare, ok?
Allora $a=kb=khc=pc$
Scusa ma non capisco come sei arrivato a questa conclusione $:($
Scusa ma non capisco come sei arrivato a questa conclusione $:($
Ho semplicemente posto $hk=p$
Sono una frana
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