Relazione di equivalenza e classe di equivalenza.
Buona sera a tutti, avrei un dubbio su un esercizio: Considerando l'insieme delle coppie dei numeri naturali $(m,n)$. Introduciamo la relazione $(m,n)-=(m',n')$ se $m+n'=m'+n$. Verificare che la relazione precedente è una relazione di equivalenza. Studiare l'insieme quoziente. Parto col dire che $m+n$ è sicuramente $<=$ a se stesso. La proprietà simmetrica sembra essere verificata pure; difatti: se considero $m+n'=X$ ed $m'+n=Y$ ho certamente che se $X=Y$ allora $Y=X$. la stessa cosa vale per la proprietà transitiva (sulla dimostrazione di questa non sono completamente convinto). Se $m+n'=m'+n$ e se $m'+n''=m''+n'$ allora anche $m+n''=m''+n$. Quindi la relazione è una relazione di equivalenza. Ma come faccio a comprendere le classi di equivalenza, un metodo efficace per arrivarci tranquillamente? PS: il libro porta come classe di equivalenza appartenente all'insieme quoziente l'unica comprendente l'insieme dei numeri relativi. Perché i relativi? Non potrebbe essere anche i numeri naturali?
Grazie a tutti.
Grazie a tutti.
Risposte
Se ci pensi bene,in effetti,
dicendo che $(0,2)R(n,n+2)$ $AAn inNN$ stiamo solo affermando l'ovvia uguaglianza $0+(n+2)=2+n$ $AAn inNN$ o,
in modo logicamente equivalente per quanto hai appreso sui numeri relativi,che $0-2=n-(n+2)=-2$ $AAn inNN$!
E' insomma possibile dire che quel $-2$ è un modo comodo di rappresentare ogni coppia di numeri naturali che,
con la R considerata,sia in relazione con (0,2);
e questo destino può esser riservato ad ogni elemento di $ZZ$,direi:
tanto per portare un esempio di ciò,tra gli infiniti con la medesima matrice di ragionamento,
potresti analogamente dire che $+2$ è un modo comodo di rappresentare gli infiniti elementi di $NNxxNN$ in relazione con $(2,0)$ secondo la tua $R$,
ossia tutte le coppie del tipo $(n+2,n)$ con $n inNN$..
Più chiaro,ora?
Saluti dal web.
dicendo che $(0,2)R(n,n+2)$ $AAn inNN$ stiamo solo affermando l'ovvia uguaglianza $0+(n+2)=2+n$ $AAn inNN$ o,
in modo logicamente equivalente per quanto hai appreso sui numeri relativi,che $0-2=n-(n+2)=-2$ $AAn inNN$!
E' insomma possibile dire che quel $-2$ è un modo comodo di rappresentare ogni coppia di numeri naturali che,
con la R considerata,sia in relazione con (0,2);
e questo destino può esser riservato ad ogni elemento di $ZZ$,direi:
tanto per portare un esempio di ciò,tra gli infiniti con la medesima matrice di ragionamento,
potresti analogamente dire che $+2$ è un modo comodo di rappresentare gli infiniti elementi di $NNxxNN$ in relazione con $(2,0)$ secondo la tua $R$,
ossia tutte le coppie del tipo $(n+2,n)$ con $n inNN$..
Più chiaro,ora?
Saluti dal web.
Quindi, per esempio, se dovessi ragionare sull'esercizio da me posto avrei che se $m+n'=m'+n$ allora sarà $m-n=m'-n'$ ovviamente. E se considero come coppie $(m,n)=(0,1)$ ed $m',n'=(2,3)$ allora otterrei che $0-1=2-3$ quindi otterrei l'elemento -1. Quindi solamente con i numeri sto lavorando in $NN$ ma non con le operazioni. Altrimenti come avrei potuto sottrarre a 0 il numero 1 e al numero 2 il numero 3. E ancora potrei dire che $m-m'=n-n'$ ottenendo così ancora dei negativi interi in più; costruendo così piano piano tutto l'insieme dei numeri relativi interi.Va bene così?? Grazie mille della risposta!
Eccco,mi sà che hai colto il giusto spirito interpretativo:
saluti dal web.
P.S.
Figuarati..
saluti dal web.
P.S.
Figuarati..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo