Relazione di equivalenza

[GualtieroMalghesi]

Sia γ una circonferenza e α l’insieme dei punti del piano in cui essa giace. In α-γ definiamo la relazione:
$PRQ <=>$ il segmento $PQ$ non interseca γ
È una relazione di equivalenza?

NO.

Vale la proprietà riflessiva perché ogni punto del segmento $PQ$, per esempio il punto $T$ è incidente a se stesso: $TRT$

Non essendoci punti in comune tra la circonferenza e il segmento la relazione non gode della proprietà simmetrica. Se considero $T$ un punto del segmento e $C$ un punto della circonferenza, non essendoci intersezione non posso affermare che $TRC => CRT$

Stessa cosa vale per la proprietà transitiva. Se considero due segmenti incidenti che hanno un punto in comune, e tale intersezione non coincide con un punto della circonferenza non vale la proprietà transitiva.

Se potete spiegarmi con esempi dove sbaglio, anche dal punto di vista concettuale, ve ne sarei immensamente grato.

[axpgn]

L'insieme $U$ in cui sussiste la relazione è tutto il piano privato dei punti della circonferenza.
Per ogni punto $t in U$ vale $tRt$ perché il segmento $\bar(t t)$ sicuramente non interseca la circonferenza.
Anche la proprietà simmetrica é verificata perché se $\bar(pq)$ non interseca la circonferenza allora anche $\bar(qp)$ non la intersecherà.
Ma non é transitiva: prendi per esempio i due segmenti che uniscono un punto $t$ esterno alla circonferenza con due punti ($p$ e $q$) vicinissimi alla stessa; avrai che $pRt$ e $tRq$ ma non $pRq$

[GualtieroMalghesi]

Grazie mille per la correzione. Mi è stata molto di aiuto per comprendere meglio l’affascinante argomento delle relazioni, anche se penso di avere ancora molto da fare per una maggiore padronanza e comprensione dei concetti di base. Grazie