Regola scomposizione particolari trinomi
Perchè funziona la regola per scomporre un trinomio del tipo $ ax^2+bx+c $ , ovvero trovare due numeri che sommati danno $ b $ e moltiplicati danno $ ac $ ?
Risposte
Basta vederla al contrario 
$(x+s)(x+p)=x^2+(s+p)x+sp$
$(x+s)(x+p)=x^2+(s+p)x+sp$
Dicevo quella relativa al trinomio con il coefficiente di $ x $ che è diverso da $ 1 $.
"zaser123":
Perchè funziona la regola per scomporre un trinomio del tipo $ ax^2+bx+c $ , ovvero trovare due numeri che sommati danno $ b $ e moltiplicati danno $ ac $ ?
Siano $p$ e $q$ i due numeri trovati tali che $p+q=b$ e $p*q=ac$
$ ax^2+bx+c = 1/a*(a^2x^2+abx+ac)=1/a*(a^2x^2+a(p+q)x+pq)= 1/a*(a^2x^2+apx+aqx+pq)=$
$=1/a*[ax(ax+p)+q(ax+p)]=1/a*(ax+p)(ax+q)$
Visto che $pq$ è divisibile per $a$ dal secondo e dal terzo fattore si può raccogliere in modo da semplificare il primo fattore $1/a$
Dalla teoria delle equazioni di secondo grado sai che
ha soluzioni reali se e solo se [tex]\Delta:=a^2-4ac\geq 0[/tex], date da
inoltre le radici devono soddisfare
ed il trinomio può scriversi come
Chiamo
da [tex]\ref{eq:somma}[/tex] e [tex]\ref{eq:prod}[/tex] si verifica che
Viceversa, se trovi due numeri reali [tex]p,q[/tex] tali che [tex]p+q=b[/tex] e [tex]pq=ac[/tex], allora il trinomio si fattorizza in fattori lineari
e le sue radici sono
Riassumendo:
La proprietà rimane valida se i coefficienti sono complessi, nel qual caso anche le radici saranno complesse (coniugate), ma non so quanto possa essere interessante.
[tex]ax^2+bx+c=0,\quad a,b,c\in\mathbb{R},a\ne0[/tex]
ha soluzioni reali se e solo se [tex]\Delta:=a^2-4ac\geq 0[/tex], date da
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},[/tex]
inoltre le radici devono soddisfare
[tex]\begin{align}
&x_1+x_2=-\frac{b}{a},\label{eq:somma}\\
&x_1x_2=\frac{c}{a},\label{eq:prod}
\end{align}[/tex]
&x_1+x_2=-\frac{b}{a},\label{eq:somma}\\
&x_1x_2=\frac{c}{a},\label{eq:prod}
\end{align}[/tex]
ed il trinomio può scriversi come
[tex]ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).[/tex]
Chiamo
[tex]p:=-ax_1,\quad q:=-ax_2,[/tex]
da [tex]\ref{eq:somma}[/tex] e [tex]\ref{eq:prod}[/tex] si verifica che
[tex]p+q=b,\quad pq=ac.[/tex]
Viceversa, se trovi due numeri reali [tex]p,q[/tex] tali che [tex]p+q=b[/tex] e [tex]pq=ac[/tex], allora il trinomio si fattorizza in fattori lineari
[tex]\begin{align*}
ax^2+bx+c&=ax^2+px+qx+\frac{pq}{a}\\
&=ax\Big(x+\frac{q}{a}\Big)+p\Big(x+\frac{q}{a}\Big)\\
&=\Big(ax+p\Big)\Big(x+\frac{q}{a}\Big)\\
&=a\Big(x+\frac{p}{a}\Big)\Big(x+\frac{q}{a}\Big),\end{align*}[/tex]
ax^2+bx+c&=ax^2+px+qx+\frac{pq}{a}\\
&=ax\Big(x+\frac{q}{a}\Big)+p\Big(x+\frac{q}{a}\Big)\\
&=\Big(ax+p\Big)\Big(x+\frac{q}{a}\Big)\\
&=a\Big(x+\frac{p}{a}\Big)\Big(x+\frac{q}{a}\Big),\end{align*}[/tex]
e le sue radici sono
[tex]x_1=-\frac{p}{a},\quad x_2=-\frac{q}{a}.[/tex]
Riassumendo:
Un'equazione di secondo grado
[tex]ax^2+bx+c=0,\quad a,b,c\in\mathbb{R},a\ne0[/tex]
ha soluzioni reali se e solo se esistono [tex]p,q\in\mathbb{R}[/tex] tali che [tex]p+q=b[/tex] e [tex]pq=ac[/tex]; in tal caso le soluzioni sono [tex]x_1=-\frac{p}{a},\quad x_2=-\frac{q}{a}[/tex] ed il trinomio associato si spezza in due fattori lineari
[tex]ax^2+bx+c=a\Big(x+\frac{p}{a}\Big)\Big(x+\frac{q}{a}\Big).[/tex]
Se l'equazione è a coefficienti interi e [tex]p,q\in\mathbb{Z}[/tex], allora le radici sono razionali.
La proprietà rimane valida se i coefficienti sono complessi, nel qual caso anche le radici saranno complesse (coniugate), ma non so quanto possa essere interessante.
"@melia":
Visto che $pq$ è divisibile per $a$ dal secondo e dal terzo fattore si può raccogliere in modo da semplificare il primo fattore $1/a$
Non mi è chiaro quest'ultimo passaggio.
Ho compreso la dimostrazione di 413, mi posso fermare a $ (ax+p) (x+q/a) $ dicendo che, date le condizioni, sono riuscito a fattorizzare il trinomio?
Dipende da dove vuoi fattorizzare il polinomio. Se sono polinomi a coefficienti in [tex]\mathbb{Z}[/tex], ad esempio,
è una fattorizzazione valida, mentre
non lo è perché [tex]x-\frac{1}{2}[/tex] non è un polinomio a coefficienti interi; se invece vuoi fattorizzare in [tex]\mathbb{Q}[/tex] o [tex]\mathbb{R}[/tex] sono scritture equivalenti, essendo [tex]2[/tex] un invertibile sia in [tex]\mathbb{Q}[/tex] sia [tex]\mathbb{R}[/tex] (la fattorizzazione in irriducibili è unica a meno dell'ordine dei fattori e di fattori invertibili).
[tex]4x^2+4x-3=(2x-1)(2x+3)[/tex]
è una fattorizzazione valida, mentre
[tex]4x^2+4x-3=2\Big(x-\frac{1}{2}\Big)(2x+3)[/tex]
non lo è perché [tex]x-\frac{1}{2}[/tex] non è un polinomio a coefficienti interi; se invece vuoi fattorizzare in [tex]\mathbb{Q}[/tex] o [tex]\mathbb{R}[/tex] sono scritture equivalenti, essendo [tex]2[/tex] un invertibile sia in [tex]\mathbb{Q}[/tex] sia [tex]\mathbb{R}[/tex] (la fattorizzazione in irriducibili è unica a meno dell'ordine dei fattori e di fattori invertibili).
Quello che ti ha detto 413 vale, ma se vuoi scomporre con i due numeri perché non sai usare o non vuoi usare le equazioni di secondo grado, allora ti faccio vedere un esempio
$18x^2-3x-10$, devi trovare due numeri che hanno come somma $b= -3$ e come prodotto $a*c= -180$
i due numeri sono $p= -15$ e $q=+12$
La scomposizione è $1/a*(ax+p)(ax+q)$, nel nostro esercizio $a=18$, $p= -15$ e $q=12$, sostituendo ottieni
$18x^2-3x-10= 1/18*(18x-15)(18x+12)=$ dalla prima parentesi puoi raccogliere $3$ e dalla seconda $6$
$=1/18*3(6x-5)*6(3x+2)=$ adesso puoi semplificare e ottieni $(6x-5)(3x+2)$ facendo scomparire il fattore $1/18$
$18x^2-3x-10$, devi trovare due numeri che hanno come somma $b= -3$ e come prodotto $a*c= -180$
i due numeri sono $p= -15$ e $q=+12$
La scomposizione è $1/a*(ax+p)(ax+q)$, nel nostro esercizio $a=18$, $p= -15$ e $q=12$, sostituendo ottieni
$18x^2-3x-10= 1/18*(18x-15)(18x+12)=$ dalla prima parentesi puoi raccogliere $3$ e dalla seconda $6$
$=1/18*3(6x-5)*6(3x+2)=$ adesso puoi semplificare e ottieni $(6x-5)(3x+2)$ facendo scomparire il fattore $1/18$
In generale come si fa a raccogliere dal secondo e dal terzo fattore per semplificare $ 1/a $? Io avevo fatto questo : $ 1/a (ax+p) (ax+q)= 1/a (ax+(ac)/q) (ax+q) = (x+c/q) (ax+q) $
Generalmente si preferisce una di queste due posizioni, a seconda di quello che devi fare con il polinomio scomposto:
1) gli addendi dentro parentesi non devono essere delle frazioni, con la tua forma rischi che il secondo addendo del primo fattore sia una frazione;
2) i due fattori devono avere la $x$ con coefficiente 1.
Il tuo risultato è una via di mezzo.
1) gli addendi dentro parentesi non devono essere delle frazioni, con la tua forma rischi che il secondo addendo del primo fattore sia una frazione;
2) i due fattori devono avere la $x$ con coefficiente 1.
Il tuo risultato è una via di mezzo.
Quindi come si procede nel modo corretto ?
Così
"@melia":
Quello che ti ha detto 413 vale, ma se vuoi scomporre con i due numeri perché non sai usare o non vuoi usare le equazioni di secondo grado, allora ti faccio vedere un esempio
$18x^2-3x-10$, devi trovare due numeri che hanno come somma $b= -3$ e come prodotto $a*c= -180$
i due numeri sono $p= -15$ e $q=+12$
La scomposizione è $1/a*(ax+p)(ax+q)$, nel nostro esercizio $a=18$, $p= -15$ e $q=12$, sostituendo ottieni
$18x^2-3x-10= 1/18*(18x-15)(18x+12)=$ dalla prima parentesi puoi raccogliere $3$ e dalla seconda $6$
$=1/18*3(6x-5)*6(3x+2)=$ adesso puoi semplificare e ottieni $(6x-5)(3x+2)$ facendo scomparire il fattore $1/18$
Mi sfugge la generalizzazione di questo procedimento che hai illustrato.
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