Regola per creare frazioni generatrici!!??
da che cosa nasce la regola che permette di ricavare la frazione generatrice dei numeri decimali??
ciao
ciao
Risposte
i numeri decimali si dividono in tre categorie
1- decimali finiti
2- decimali periodici
3- decimali infiniti non periodici (irrazionali che NON ammettono frazioni generatrici!)
Per i numeri del primo tipo l cosa mi sembra alquanto evidente, credo che la tua domanda si riferisse ai numeri del "secondo tipo", vero?
ci sono due modi per ottenenere la regola: il primo sfrutta le serie il secondo e' molto piu' intuitivo ed e' quello che usero' qui.
considera
2,(3)
sia x la frazione corrispondente, si ha
x = 2,(3)
moltiplica ambo i membri per 10, ottieni
10x = 23,(3)
sottrai la prima equazione dalla seconda, otterrai
10x-x=23,(3)-2,(3)
9x=21
x= 21/9
ok?
ora consideriamo un numero con periodo di 2 cifre
x=2,(31)
moltiplica per 100
100x= 231,(31)
sottrai la prima dalla seconda
100x-x=231,(31)-2,(31)
99x=229
x=229/99
da qui si vede da dove viene la regola "tanti 9 quante sono le cifre del periodo" ...
manca il caso con l'antiperiodo:
x=2,3(5)
10x=23,(5)
100x=235,(5)
100x-10x=235,(5)-23,(5)
90x=212
x=212/90
esempio con due cifre antiperiodo:
x=3,45(6)
100x=345,(6)
1000x=3456,(6)
1000x-100x= 3456,(6)-345,(6)
900x=3111
x=3111/900
ecco spiegata la parte "tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo"
ci sei?
ora questo metodo (che mi piace molto) e' un po' complesso da formalizzare nel caso generale, ma mi sembra molto intuitivo
ciao
1- decimali finiti
2- decimali periodici
3- decimali infiniti non periodici (irrazionali che NON ammettono frazioni generatrici!)
Per i numeri del primo tipo l cosa mi sembra alquanto evidente, credo che la tua domanda si riferisse ai numeri del "secondo tipo", vero?
ci sono due modi per ottenenere la regola: il primo sfrutta le serie il secondo e' molto piu' intuitivo ed e' quello che usero' qui.
considera
2,(3)
sia x la frazione corrispondente, si ha
x = 2,(3)
moltiplica ambo i membri per 10, ottieni
10x = 23,(3)
sottrai la prima equazione dalla seconda, otterrai
10x-x=23,(3)-2,(3)
9x=21
x= 21/9
ok?
ora consideriamo un numero con periodo di 2 cifre
x=2,(31)
moltiplica per 100
100x= 231,(31)
sottrai la prima dalla seconda
100x-x=231,(31)-2,(31)
99x=229
x=229/99
da qui si vede da dove viene la regola "tanti 9 quante sono le cifre del periodo" ...
manca il caso con l'antiperiodo:
x=2,3(5)
10x=23,(5)
100x=235,(5)
100x-10x=235,(5)-23,(5)
90x=212
x=212/90
esempio con due cifre antiperiodo:
x=3,45(6)
100x=345,(6)
1000x=3456,(6)
1000x-100x= 3456,(6)-345,(6)
900x=3111
x=3111/900
ecco spiegata la parte "tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo"
ci sei?
ora questo metodo (che mi piace molto) e' un po' complesso da formalizzare nel caso generale, ma mi sembra molto intuitivo
ciao
beh addirittura dire MOLTO intuitivo mi pare esagerato 
:D cmq grazie, ero proprio curioso da dove sbucasse la regola 
:D cmq grazie, ero proprio curioso da dove sbucasse la regola
io sono curiuso della soluzione piu formale(quella con le serie)...qualche link?
grazie mille è molto chiaro.
"blackdie":
io sono curiuso della soluzione piu formale(quella con le serie)...qualche link?
no... sorry, niente link..
ma ti posso rispondere io
caso senza antiperiodo e con una cifra decimale
uso le lettere invece delle cifre, ok?
a,(b) = a + b/10 +b/100 + b/1000 + ....
ora a parte il primo termine a, la somma e' una serie geometrica di ragione 1/10 di cui puoi calcolare il risultato come limite delle somme parziali
ora devo scappare, se ti serve continuo dopo, se ti basta questo indizio, meglio...
ciao a dopo
ok, posso riprendere ora
la somma che avevo scritto sopra converge a
a+b/9 = (9a+b)/9 basta usare la serie geometrica, ok?)
ora il numeratore lo puoi vedere come
10a+b-a (ovvero tutto il numero meno la parte non periodica)
ora generalizza con n cifre periodiche
se c'e' un antiperiodo con k cifre ti puoi ricondurre al caso precedente moltiplicando il numero per 10^k
a risultato ottenuto dividi tutto per 10^k ed ecco spiegata la regola "tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo"
ok?
la somma che avevo scritto sopra converge a
a+b/9 = (9a+b)/9 basta usare la serie geometrica, ok?)
ora il numeratore lo puoi vedere come
10a+b-a (ovvero tutto il numero meno la parte non periodica)
ora generalizza con n cifre periodiche
se c'e' un antiperiodo con k cifre ti puoi ricondurre al caso precedente moltiplicando il numero per 10^k
a risultato ottenuto dividi tutto per 10^k ed ecco spiegata la regola "tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo"
ok?
"giacor86":
beh addirittura dire MOLTO intuitivo mi pare esagerato
bhe' mi riferivo al fatto che questo metodo non coinvolge somme infinite e puo' essere capito da un ragazzo di terza media che sappia risolvere equazioni lineari banali...
poi, magari, generalizzare non e' TROPPO immediato, ma...
...ho giusto qualche minuto da perdere! Notoriamente, se $b > 1$ è un intero, ogni $x \in \mathbb{R}$ si può sempre rappresentare in modo univoco mediante una successione $\{a_k\}_{k=-\infty}^n$ a valori nell'insieme $D_b := \{0,1, ..., b-1\}$ tale che $n \in \mathbb{N}$ e alcun intero $m \le n$ esiste per cui $a_k = b-1$, se $k \le m$. Ammettiamo che, a meno dei primi $n+m+1$, ove $m \in \mathbb{N}$, la successione sia periodica di periodo $p \in \mathbb{Z}^+$, i.e. che $a_k = a_{k+p}$, per ogni intero $k < -m$. Allora $x = \sum_{k=-\infty}^n 10^k a_k =$ $S_0 + \sum_{k=-m}^n 10^k a_k + \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{i=1}^p \frac{a_{-m - kp-i}}{10^{m + kp + i}}$ = $\sum_{k=-m}^n a_k 10^k + \frac{1}{10^m} \cdot \sum_{k=0}^{+\infty} (\frac{1}{10^{kp}} \cdot \sum_{i=1}^p \frac{a_{-m -i}}{10^i}) = S_0 + \frac{10^{p-m}s}{10^p - 1}$, se $S_0 := \sum_{k=-m}^n 10^k a_k$ ed $s := \sum_{i=1}^p \frac{a_{-m -i}}{10^i}$. Tutto qua - modulo errori di battitura, che non ho né tempo né voglia di verificare.
EDIT: adesso che ho trovato il tempo e la voglia di verificare quanto scritto, posso confermare che è tutto a posto, per la gioia ed il contento - immagino! - di Giusepperoma et alii. Per i ringraziamenti e tutto il resto v'invito a passare dal mio ufficio, i giorni di ricevimento dovreste già conoscerli.
EDIT: adesso che ho trovato il tempo e la voglia di verificare quanto scritto, posso confermare che è tutto a posto, per la gioia ed il contento - immagino! - di Giusepperoma et alii. Per i ringraziamenti e tutto il resto v'invito a passare dal mio ufficio, i giorni di ricevimento dovreste già conoscerli.
"DavidHilbert":
.non ho né tempo né voglia di verificare.
se non hai ne' tempo ne' voglia, perche' scrivi?
"Giusepperoma":
se non hai ne' tempo ne' voglia, perche' scrivi?
"DavidHilbert":
...ho giusto qualche minuto da perdere!
...sostanzialmente basta conoscere i rudimenti della lingua.
giusto! i rudimenti... vero!!!
dopo che uno impara i rudimenti dovrebbe poi concentrarsi sulla forma, o sbaglio? no te lo chiedo tanto per sapere cosa mi aspetta dopo...
comunque grazie per aver trovato un po' di tempo da sprecare per illuminarci... ora la domanda nasce spontanea:
"riusciremo mai a sdebitarci?"
"DavidHilbert":
...ho giusto qualche minuto da perdere!
"DavidHilbert":
non ho né tempo né voglia di verificare.
dopo che uno impara i rudimenti dovrebbe poi concentrarsi sulla forma, o sbaglio? no te lo chiedo tanto per sapere cosa mi aspetta dopo...
comunque grazie per aver trovato un po' di tempo da sprecare per illuminarci... ora la domanda nasce spontanea:
"riusciremo mai a sdebitarci?"
"blackdie":
io sono curiuso della soluzione piu formale(quella con le serie)...qualche link?
Posso consigliarti il link a questa dispensa (capitolo 2):
http://www.dm.unibo.it/fismat/pub/fm1.pdf
E' di questo che si sta parlando, no? (Ho capito bene?)
"Giusepperoma":
comunque grazie per aver trovato un po' di tempo da sprecare per illuminarci... ora la domanda nasce spontanea: "riusciremo mai a sdebitarci?"
Temo di no!
Ma non fa niente! D'altro canto s'intuisce bene che sono un tipo generoso...
lol siete troppo spisciosi
"giacor86":
lol siete troppo spisciosi
In verità ti dico... Sono troppo grande per farmela addosso, e tuttavia non abbastanza da dovermi preoccupare della prostata.
"DavidHilbert":
D'altro canto s'intuisce bene che sono un tipo generoso...
non so se mi manca il senso dell'umorismo o l'intuizione... e pensare che avevo sempre pensato di possederli entrambi...
e' proprio vero: non si finisce mai di imparare
"Giusepperoma":
e' proprio vero: non si finisce mai di imparare
...almeno su questo punto siamo d'accordo!
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