Regola della derivata del prodotto di funzioni: errore
Da molto tempo non affronto problemi di analisi matematica e quindi -in questo campo- posso essere considerato un analfabeta di ritorno.
Volendo dare una mano a mio figlio (che frequenta il liceo scientifico), ho tentato di dimostrare il teorema in oggetto evidenziando così tutta la mia abissale ignoranza...Il risultato della mia dimostrazione è palesemente sbagliato, ma non sono riusciuto ad individuare l'errore.
Seguitemi nel mio procedimento passettino per passettino:
(1) $[f(x)g(x)]'=lim_{h\to\0}(f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x))/h$
Essendo g(x) una funzione continua vale la:
(2) $lim_{h\to\0}g(x)/g(x+h)=1$
E' valida quindi anche la seguente relazione:
(3) $[f(x)g(x)]'=lim_{h\to\0}g(x)/g(x+h)lim_{h\to\0}(f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x))/h$
Essendo il limite di una somma uguale alla somma dei limiti, posso scrivere:
(4) $[f(x)g(x)]'=lim_{h\to\0}g(x)/g(x+h)[lim_{h\to\0}(f(x+h)g(x+h))/h- lim_{h\to\0}(f(x)g(x))/h]$
Inoltre, essendo il prodotto dei limiti uguale al limite del prodotto, trasformo la (4) nella seguente:
(5) $[f(x)g(x)]' = lim_{h\to\0}(g(x)/g(x+h)f(x+h)g(x+h))/h-lim_{h\to\0}g(x)/g(x+h)lim_{h\to\0}(f(x)g(x))/h$
Eliminado g(x+h) dal primo limite e ricordando che il secondo limite della (5) vale 1 per la (2), si ottiene:
(6) $[f(x)g(x)]' = lim_{h\to\0}(g(x)f(x+h))/h - lim_{h\to\0}(f(x)g(x))/h$
Essendo la somma dei limiti pari al limite della somma, si ha:
(7) $[f(x)g(x)]' = lim_{h\to\0}g(x)(f(x+h)-f(x))/h = g(x) lim_{h\to\0}(f(x+h)-f(x))/h $
Si ottiene finalmente il risultato (sbagliato!):
(8) $[f(x)g(x)]' =g(x)f'(x)$
QNED
Ringrazio chi mi aiuta a trovare l'errore...
Dante
PS: Non mi interessa la dimostrazione corretta della regola, ma l'errore (o gli errori) che ho commesso...
Volendo dare una mano a mio figlio (che frequenta il liceo scientifico), ho tentato di dimostrare il teorema in oggetto evidenziando così tutta la mia abissale ignoranza...Il risultato della mia dimostrazione è palesemente sbagliato, ma non sono riusciuto ad individuare l'errore.
Seguitemi nel mio procedimento passettino per passettino:
(1) $[f(x)g(x)]'=lim_{h\to\0}(f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x))/h$
Essendo g(x) una funzione continua vale la:
(2) $lim_{h\to\0}g(x)/g(x+h)=1$
E' valida quindi anche la seguente relazione:
(3) $[f(x)g(x)]'=lim_{h\to\0}g(x)/g(x+h)lim_{h\to\0}(f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x))/h$
Essendo il limite di una somma uguale alla somma dei limiti, posso scrivere:
(4) $[f(x)g(x)]'=lim_{h\to\0}g(x)/g(x+h)[lim_{h\to\0}(f(x+h)g(x+h))/h- lim_{h\to\0}(f(x)g(x))/h]$
Inoltre, essendo il prodotto dei limiti uguale al limite del prodotto, trasformo la (4) nella seguente:
(5) $[f(x)g(x)]' = lim_{h\to\0}(g(x)/g(x+h)f(x+h)g(x+h))/h-lim_{h\to\0}g(x)/g(x+h)lim_{h\to\0}(f(x)g(x))/h$
Eliminado g(x+h) dal primo limite e ricordando che il secondo limite della (5) vale 1 per la (2), si ottiene:
(6) $[f(x)g(x)]' = lim_{h\to\0}(g(x)f(x+h))/h - lim_{h\to\0}(f(x)g(x))/h$
Essendo la somma dei limiti pari al limite della somma, si ha:
(7) $[f(x)g(x)]' = lim_{h\to\0}g(x)(f(x+h)-f(x))/h = g(x) lim_{h\to\0}(f(x+h)-f(x))/h $
Si ottiene finalmente il risultato (sbagliato!):
(8) $[f(x)g(x)]' =g(x)f'(x)$
QNED
Ringrazio chi mi aiuta a trovare l'errore...
Dante
PS: Non mi interessa la dimostrazione corretta della regola, ma l'errore (o gli errori) che ho commesso...
Risposte
Al punto (6) hai una forma indeterminata, ottenuta dalla differenza tra due limiti che tendono, se va bene, entrambi a $oo$, se va male, invece, sono entrambi forme indeterminate $0/0$. Da forme indeterminate, se non togli l'indeterminazione, non ricavi niente.
...Allora, vediamo se ho capito. Poiché nella (6) siamo in presenza di una forma indeterminata del tipo $\infty - infty$ non siamo autorizzati a passare alla forma (7). In questo caso la somma dei limiti non è uguale al limite della somma.
In altri termini, se $lim_{x\to\k}a(x) + lim_{x\to\k}b(x) $ dà luogo ad una forma indeterminata, non è detto sia vera la relazione che segue:
$ lim_{x\to\k}a(x) + lim_{x\to\k}b(x) = lim_{x\to\k}(a(x)+b(x)) $
Non dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che forse può essere contenuta nel margine troppo stretto di questa pagina, ma che richiederebbe da parte mia altri sforzi che l'ora tarda mi suggerisce di rinviare a domani...
Grazie per la cortese e sollecita risposta. Buona notte.
Dante
In altri termini, se $lim_{x\to\k}a(x) + lim_{x\to\k}b(x) $ dà luogo ad una forma indeterminata, non è detto sia vera la relazione che segue:
$ lim_{x\to\k}a(x) + lim_{x\to\k}b(x) = lim_{x\to\k}(a(x)+b(x)) $
Non dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che forse può essere contenuta nel margine troppo stretto di questa pagina, ma che richiederebbe da parte mia altri sforzi che l'ora tarda mi suggerisce di rinviare a domani...
Grazie per la cortese e sollecita risposta. Buona notte.
Dante
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