Reali positivi
sia $a$ razionale con $o<= a<=1$; provare che se $x,y in R+$ si ha
$|x^a-y^a|<=|x-y|^a
$|x^a-y^a|<=|x-y|^a
Risposte
Se $a=0$ o $a=1$, la disequazione è verificata.
Dovendo $a$ essere compreso tra 0 e 1, stiamo parlando di un'elevazione a potenza con esponente razionale, quindi un'estrazione di radice...
mmm..
Dovendo $a$ essere compreso tra 0 e 1, stiamo parlando di un'elevazione a potenza con esponente razionale, quindi un'estrazione di radice...
mmm..
ma è sbagliato se elevo i 2 membri 1/a?
"oby89":
ma è sbagliato se elevo i 2 membri 1/a?
Formalmente non è sbagliato, bisogna vedere se questa azione è di qualche utilità e ti porta da qualche parte.
ragazzi mi aiutate?? non riesco proprio a trovare una soluzione.. 
LEMMA
Siano $y,k in \R_{+}$. Allora $(y+k)^alpha <= y^alpha + k^alpha$ per ogni $0
Dim.
Poichè $00$ tale che $alpha=1- beta$. Supponiamo per assurdo $(y+k)^alpha>y^alpha+k^alpha$, cioè $(y+k)^(1- beta)>y^(1- beta)+k^(1- beta)$. Si deduce $\frac{y+k}{(y+k)^beta}>\frac{y}{y^beta}+\frac{k}{k^beta}$ e quindi $y+k>y(1+\frac{k}{y})^beta+k(1+\frac{y}{k})^beta>y+k$, assurdo.
PROPOSIZIONE
Siano $x,y in \R_{+}$ e sia $0<=alpha<=1$. Allora $|x^alpha-y^alpha|<=|x-y|^alpha$.
Dim.
Se $\alpha=0$ oppure $alpha=1$ la tesi è evidente. Si allora $0y$; se è così la disuguaglianza da provare diviene $x^alpha-y^alpha<=(x-y)^alpha$ (perchè $alpha>0$) ed esiste $k in \R_+$ tale che $x=y+k$ . Sostituendo la $x$ si ottiene $(y+k)^alpha <= y^alpha+k^alpha$. Per il lemma precedente la disuguaglianza è vera, come voluto.
***Nota***
L'ipotesi $x>y$ di cui sopra non è restrittiva. Infatti, se fosse $y>x$, sciogliendo il modulo sarebbe necessario cambiare di segno ed il ragionamento potrebbe essere interamente ripetuto permutando $x$ con $y$.
Siano $y,k in \R_{+}$. Allora $(y+k)^alpha <= y^alpha + k^alpha$ per ogni $0
Dim.
Poichè $0
PROPOSIZIONE
Siano $x,y in \R_{+}$ e sia $0<=alpha<=1$. Allora $|x^alpha-y^alpha|<=|x-y|^alpha$.
Dim.
Se $\alpha=0$ oppure $alpha=1$ la tesi è evidente. Si allora $0
***Nota***
L'ipotesi $x>y$ di cui sopra non è restrittiva. Infatti, se fosse $y>x$, sciogliendo il modulo sarebbe necessario cambiare di segno ed il ragionamento potrebbe essere interamente ripetuto permutando $x$ con $y$.
cntrone..... ti convince?
"Russell":
LEMMA
Si deduce $\frac{y+k}{(y+k)^beta}>\frac{y}{y^beta}+\frac{k}{k^beta}$ e quindi $y+k>y(1+\frac{k}{y})^beta+k(1+\frac{y}{k})^beta>y+k$, assurdo.
mi potresti spiegare questo passaggio?? per il resto mi è chiaro..un'altra cosa..da quanto ne so questo esrcizio non doveva essere molto difficile..eppure non sembra sia cosi, o sbaglio?? cioè io non conoscevo questo lemma..avrei dovuto conoscerlo??
scusa per il ragionamento contorto ma mi sto preparando per un concorso e non vorrei saltare qualche argomento..grazie mille!!!! 
da quanto ne so questo esrcizio non doveva essere molto difficile..eppure non sembra sia cosi, o sbaglio??
Sinceramente a me questo sembrava più difficile di quelli che hai postato in precedenza.
Poi non so qual'è il tuo riferimento, e quale è il tuo livello.
"Steven":da quanto ne so questo esrcizio non doveva essere molto difficile..eppure non sembra sia cosi, o sbaglio??
Sinceramente a me questo sembrava più difficile di quelli che hai postato in precedenza.
Poi non so qual'è il tuo riferimento, e quale è il tuo livello.
purtroppo il mio livello è piuttosto basso come credo vi sarete accorti
dico che non doveva essere molto difficile perchè nel documento in cui l'ho preso è definito come "quesiti e semplici esercizi che occorre SAPER FARE"..
io dico che esiste una soluzione più semplice...
"cntrone":
[quote="Steven"]da quanto ne so questo esrcizio non doveva essere molto difficile..eppure non sembra sia cosi, o sbaglio??
Sinceramente a me questo sembrava più difficile di quelli che hai postato in precedenza.
Poi non so qual'è il tuo riferimento, e quale è il tuo livello.
purtroppo il mio livello è piuttosto basso come credo vi sarete accorti
dico che non doveva essere molto difficile perchè nel documento in cui l'ho preso è definito come "quesiti e semplici esercizi che occorre SAPER FARE"..
io dico che esiste una soluzione più semplice...[/quote]
scusate mi sono appena accorto che questo esercizio è definito come "esercizi per la cui soluzione sono richieste nozioni e capacità culturalmente più
rilevanti"
errore mio..ciao!!
Ciao cntrone! Io non so se esiste una soluzione più semplice. Ho pensato questa e te l'ho proposta. Non mi pare lunga o troppo articolata. Certo non è immediato farsela saltare in mente, specialmente se non si ha molta esperienza. Ho scritto un lemma ed una proposizione solo per spezzare il ragionamento in due parti, affinchè fosse più facilmente leggibile. Se ti piace di più puoi incollare il lemma sotto la proposizione. Il lemma l'ho dedotto da solo, non è una di quelle cose arcinote come il "Teorema di Pitagora". Ce ne sono talmente tanti di questo tipo che bisogna saperli tirar fuori per l'occasione e dimostrarseli. Non devi preoccuparti comunque! Con l'esercizio si migliora! Riguardo a...
mi potresti spiegare questo passaggio?? [/quote]
$\frac{y+k}{(y+k)^beta}>\frac{y}{y^beta}+\frac{k}{k^beta} Rightarrow y+k>y(\frac{y+k}{y})^beta+k(\frac{y+k}{k})^beta=y(1+\frac{k}{y})^beta+k(1+\frac{y}{k})^beta>y+k$ (ho moltiplicato il membro di destra per il denominatore $(y+k)^beta$)
Se posso chiedertelo...quale concorso stai preparando?
"cntrone":
[quote="Russell"]LEMMA
Si deduce $\frac{y+k}{(y+k)^beta}>\frac{y}{y^beta}+\frac{k}{k^beta}$ e quindi $y+k>y(1+\frac{k}{y})^beta+k(1+\frac{y}{k})^beta>y+k$, assurdo.
mi potresti spiegare questo passaggio?? [/quote]
$\frac{y+k}{(y+k)^beta}>\frac{y}{y^beta}+\frac{k}{k^beta} Rightarrow y+k>y(\frac{y+k}{y})^beta+k(\frac{y+k}{k})^beta=y(1+\frac{k}{y})^beta+k(1+\frac{y}{k})^beta>y+k$ (ho moltiplicato il membro di destra per il denominatore $(y+k)^beta$)
Se posso chiedertelo...quale concorso stai preparando?
"Russell":
Se posso chiedertelo...quale concorso stai preparando?
tento di entrare in accedemia, marina..e dopo aver superato le prime due prove adesso mi tocca l'orale di matematica..quindi mi sto mi preparando e rispolvero qualche argomento..
Un sincero in bocca al lupo!
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