Rango di una matrice (33604)

[lorè91]

ciao, dovrei trovare il rango di questa matrice con il teorema degli orlati. Il mio prof ne aveva parlato, ma dato che sul libro non c'è non mi ricordo più come si fa. Mi potete aiutare? grazie mille:lol

0 2 1
0 0 0
0 1(-3)

Ps. ho provato a scriverlo in latex ma non ci sono riuscita. come avrei dovuto fare?

[issima90]

scusa che classe fai??io queste cose nn le ho fatte al liceo..so cm usare la matrie pe cramer...ma lì trovi il determinante.nn il rango..

[Aleksej]

In realtà il teorema degli orlati serve nel calcolo del rango di una matrice...
In pratica sei hai una matrice:

a b c d
e f g h
i l m n

intanto il rango di questa matrice non può essere maggiore di 3.
Il teorema degli orlati dice che se in questa matrice trovi un minore (matrice quadrata) di ordine x che ha determinante non nullo, il rango di tutta la matrice è x, a patto che tutti i minori orlati di quello che hai scelto tu siano nulli o non esistano. Esempio, in questo caso:
se trovi che il minore:

a b c
e f g
i l m

non è nullo, il rango dell'intera matrice è 3, perchè non esistono minori orlati di questo qui.
Un minore orlato di questo si costruirebbe aggiungendo a questo una riga ed una colonna dell'intera matrice...
N.B. se questo minore era nullo, il rango potrebbe ugualmente essere 3, perchè esistono altri minori di ordine 3 in questa matrice




leggi anche qui

[ciampax]

@ Aleksej: te lo hanno spiegato proprio così il Teorema della Matrice Orlata all'Università? E poi l'esame l'hai passato? Perché se mi dicevi a me il Teorema così, ti cacciavo a calci dalla sede di esame! :) (Sto scherzando!)

Il fatto è che fai confusione tra i risultati: il Teorema della Matrice Orlata (o Teorema di Rouché-Capelli) ti dà una condizione necessaria e sufficieente per la risoluzione di un sistema lineare. Quello che si usa per determinare il rango di una matrice è il Teorema dei Minori!

Diamo una definizione: Se

[math]M\in\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})[/math]

è una matrice con n righe ed m colonne a coefficienti reali, un minore di M è il determinante di una sottomatrice quadrata di M. L'ordine del minore è l'ordine (numero di righe e di colonne) del minore stesso.

Detto questo, si ha il seguente risultato:

Il rango di una matrice

[math]M[/math]

è uguale al massimo ordine dei minori non nulli


Quindi, basta trovare a quale ordine appartengono i primi minori non nulli, anche se tra questi ce ne fossero alcuni nulli.

Se si vuole risolvere il problema con questo metodo, si vede subito che, essendoci una riga di zeri, il determinante della matrice è nullo e quindi la matrice NON ha rango=3.

Se prendiamo i minori di ordine 2, vediamo che possiamo trovarne 6 (numero di possibili combinazioni scegliendo tra 3 righe e 3 colonne e sopprimendo i casi che si ripetono) e se calcoliamo tutti i minori vediamo che in tutti quelli in cui si considera la prima colonna o la seconda riga il determinante è nullo. Tuttavaia, se prendi il minore formato dalle righe 1 e 3 e dalle colonne 2 e 3, ottieni la matrice

[math]M=\left(\begin{array}{cc}
2 & 1 \\ 1 & -3
\end{array}\right)[/math]

il cui determinante è

[math]\det\ M=2(-3)-1\cdot 1=-7[/math]

che è non nullo. Il rango della matrice è quindi 2.

In ogni caso, questo metodo è una gran rottura di scatole, perché bisogna provare tanti e tanti casi! è molto più semplice ridurre per righe la matrice, fino ad ottenere la forma triangolare che permette di dire quale sia il rango. Infatti

[math]\left(\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3
\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7
\end{array}\right)[/math]

se moltiplichi la riga tre per -2 e la sommi alla riga 1. La matrice che ottieni è triangolare (scambia le righe 2 e 3) ed ha quindi rango 2 (visto che una riga è fatta di soli zero).

[lorè91]

grazie a tutti :hi