Radici reali di un'equazione...

[duepiudueugualecinque]

non ho capito una cosa... in una equazione (se non ha radici complesse)...le sue radici sono:

nel caso $a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) +....+a_1x + a_0 = 0$

se il coefficente dell'incognita di grado massimo è uno (se non ha radici complesse) le radici sono tutte divisori interi del termine noto o almeno una?

se il coefficiente dell'incognita di grado massimo non è 1 (se non ha radici complesse) le radici sono tutte quelle (noto/coefficiente massimo)? o almeno una?


perchè facendo un pò di prove quando non ha radici complesse a me vengono tutti e solo i divisori, però non vorrei che fosse una coincidenza...

p.s.

lo chiedo perchè il mio libro dice almeno una radice...mentre quando non ha soluzioni complesse ho notato che sono tutte le sue radici (divisori ecc...)

[salvozungri]

Credo di aver capito il tuo discorso, se non ti dispiace potresti scrivere un esempio di modo che sia chiaro ciò che tu stai cercando di dire?
Grazie

[duepiudueugualecinque]

"Mathematico":Credo di aver capito il tuo discorso, se non ti dispiace potresti scrivere un esempio di modo che sia chiaro ciò che tu stai cercando di dire?
Grazie

faccio un'esempio semplice semplice:

quando $sqrt(Delta)$ è razionale e, quando $Delta$ è positivo (contemporaneamente):

viene detto che un equazione con coefficiente 1 all'incognita di grado massimo ha come radice (un divisore intero del termine noto), mentre le radici ho notato che sono tutte è solo i divisori del termine noto... stessa cosa per quelle con coefficiente diverso da 1 all'incognita di grado massimo....

faccio un'esempio semplice semplice:

$x^2 +3x +2 = 0$

questa equazione ha coefficiente 1 all'incognita di grado massimo, $sqrt(Delta)$ è razionale, quindi una soluzione è un divisore intero del termine noto (che in questo caso è $2$)...

il punto è che i divisori iteri di $2$ sono: $+-1 ; +-2$

e, sempre se non ci sono radici complesse ($Delta >=0$) ho notato che le radici sono tutte e solo numeri divisori interi del termine noto...

in questo caso infatti le radici sono:

$-1$ ; $-2$

ecc... ecc... per tutte le eqazioni che hanno queste caratteristiche cioè non hanno soluzioni complesse e la radice di delta è razionale....

[salvozungri]

Quanti sono i divisori interi di 2? Quante sono invece le radici del polinomio in questione?

[duepiudueugualecinque]

"Mathematico":Quanti sono i divisori interi di 2? Quante sono invece le radici del polinomio in questione?

i divisori interi di 2 sono: +-1 e +-2

le radici di questo polinomio sono: -1 e -2

quindi le radici di questo polinomio coincidono con i divisori interi di 2:

NON è CHE TUITTI I DIVISORI INTERI DI 2 SONO SOLUZIONI, MA TUTTE LE SOLUZIONI SONO DIVISORI INTERI DI 2...E QUESTO CHE STO DICENDO...


il libro però mi dice almeno una radice è un divisore intero di ecc... mentre per tutte quelle che ho fatto (sempre se rispettano le caratteristiche di prima) tutte le soluzioni sono divisori interi del termine noto..(ora siccome il libro non lo dice non vorrei che sono coincidenze)

[salvozungri]

Sono rintronato
Sì hai ragione, questo io lo chiamo teorema di Ruffini, ad ogni modo ogni radice del polinomio monico (cioè il coefficiente direttore $a_n=1$) a coefficienti interi divide il termine noto.

[duepiudueugualecinque]

"Mathematico"::oops: Sono rintronato
Sì hai ragione, questo io lo chiamo teorema di Ruffini, ad ogni modo ogni radice del polinomio monico (cioè il coefficiente direttore $a_n=1$) a coefficienti interi divide il termine noto.

XD

thx...quindi il mio libro dice almeno una soluzione, solo per rendere il discorso più semplice e farlo capire meglio..

vale anche per il caso in cui $a_n$ diverso da $1$ solo che qui le radici sono tutte quelle che rispettano : $(a_0)/(a_n)$ (divisori del noto / divisori coefficiente grado massimo)?

p.s.

il mio libro è buono ( nel senso che come vengono spiegate le cose li non lo spiega nessun altro libro...però a volte omette dei particolari (non importanti) ma che può far piacere sapere, tipo questa cosa XD)

[giammaria2]

Calma, calma! La sola ipotesi che fate è che le radici siano reali; trascurate il fatto che i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali. Ad esempio l'equazione $x^2-6x+7=0$ ha come soluzioni $x_(1,2)=3+-sqrt2$, reali ma irrazionali: le due soluzioni non sono sottomultipli di 7.
La regola (di Ruffini, come giustamente detto) è questa: se il primo coefficiente è 1, tutte le soluzioni razionali sono sottomultiple dell'ultimo coefficiente; si intende "a parte il segno". Se il primo coefficiente non è 1, tutte le soluzioni razionali sono del tipo (sottomultiplo dell'ultimo coefficiente) fratto (sottomultiplo del primo).
Non so perché il libro dica "almeno una soluzione"; forse è davvero per rendere il discorso più semplice, o forse perchè gli basta saperlo per una.

[duepiudueugualecinque]

"giammaria":Calma, calma! La sola ipotesi che fate è che le radici siano reali; trascurate il fatto che i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali. Ad esempio l'equazione $x^2-6x+7=0$ ha come soluzioni $x_(1,2)=3+-sqrt2$, reali ma irrazionali: le due soluzioni non sono sottomultipli di 7.
La regola (di Ruffini, come giustamente detto) è questa: se il primo coefficiente è 1, tutte le soluzioni razionali sono sottomultiple dell'ultimo coefficiente; si intende "a parte il segno". Se il primo coefficiente non è 1, tutte le soluzioni razionali sono del tipo (sottomultiplo dell'ultimo coefficiente) fratto (sottomultiplo del primo).
Non so perché il libro dica "almeno una soluzione"; forse è davvero per rendere il discorso più semplice, o forse perchè gli basta saperlo per una.

thx