Radici di un polinomio
So che ci sono delle relazioni tra i coefficienti di un polinomio di secondo grado e le sue radici. Ad esempio, se abbiamo un'equazione di questo tipo:
$ax^2+bx+c=0$
e chiamiamo le sue radici $x_1$ e $x_2$, allora sono vere queste due relazioni:
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
Adesso cerchiamo di risolvere questo problema:
Determinare per quali valori di $n$ tutte le soluzioni dell'equazione $x^3-3x+n=0$ sono numeri interi.
Questa volta la nostra equazione è di terzo grado. Quali sono allora le relazioni tra i coefficienti e le radici del polinomio?
$ax^2+bx+c=0$
e chiamiamo le sue radici $x_1$ e $x_2$, allora sono vere queste due relazioni:
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
Adesso cerchiamo di risolvere questo problema:
Determinare per quali valori di $n$ tutte le soluzioni dell'equazione $x^3-3x+n=0$ sono numeri interi.
Questa volta la nostra equazione è di terzo grado. Quali sono allora le relazioni tra i coefficienti e le radici del polinomio?
Risposte
Non credo che si debba usare una relazione tra le soluzioni e i coefficienti, che non mi risulta esisti, piuttosto il teorema di Ruffini e i suoi annessi e connessi, se $x_1$ è soluzione intera dell'equazione, allora $x_1$ è un divisore del termine noto.
Per una equazione di terzo grado del tipo \(\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=0 \) le relazioni sono le seguenti:
\(\displaystyle \begin{cases}x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a}\\x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}\end{cases}\)
Nel tuo caso esse diventano:
\(\displaystyle \begin{cases}x_1+x_2+x_3=0 \\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-3\\x_1x_2x_3=-n\end{cases}\)
Poiché le tre radici hanno somma nulla ,esse possono essere :
A) due negative e la terza positiva se n<0
B) due positive e la terza negativa se n>0
Per non esaminare un "fottio" (
) di casi faccio un'ipotesi supplementare ( tutta da verificare ,comunque!).Precisamente suppongo che la tua equazione abbia una radice doppia e quindi anche soluzione dell'equazione derivata :\(\displaystyle 3x^2-3=0 \)
Le radici di quest'ultima equazione sono \(\displaystyle x_1=-1,x_2=1 \)
Prendendo una radice come radice doppia e poi l'altra , tenuto conto che la somma di tutte e tre le radici è zero, avremo :
(A) \(\displaystyle x_1=-1,x_2=-1,x_3=2\ , n=-2\) .Questa è una possibile soluzione ,dato che questi valori soddisfano il sistema precedente.
(B) \(\displaystyle x_1=1,x_2=1,x_3=-2\ , n=2\) .Questa è una seconda soluzione ,dato che anche in questo caso il sistema precedente è soddisfatto.
Francamente non vedo altre soluzioni.Aspetto conferme .
\(\displaystyle \begin{cases}x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a}\\x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}\end{cases}\)
Nel tuo caso esse diventano:
\(\displaystyle \begin{cases}x_1+x_2+x_3=0 \\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-3\\x_1x_2x_3=-n\end{cases}\)
Poiché le tre radici hanno somma nulla ,esse possono essere :
A) due negative e la terza positiva se n<0
B) due positive e la terza negativa se n>0
Per non esaminare un "fottio" (
) di casi faccio un'ipotesi supplementare ( tutta da verificare ,comunque!).Precisamente suppongo che la tua equazione abbia una radice doppia e quindi anche soluzione dell'equazione derivata :\(\displaystyle 3x^2-3=0 \)Le radici di quest'ultima equazione sono \(\displaystyle x_1=-1,x_2=1 \)
Prendendo una radice come radice doppia e poi l'altra , tenuto conto che la somma di tutte e tre le radici è zero, avremo :
(A) \(\displaystyle x_1=-1,x_2=-1,x_3=2\ , n=-2\) .Questa è una possibile soluzione ,dato che questi valori soddisfano il sistema precedente.
(B) \(\displaystyle x_1=1,x_2=1,x_3=-2\ , n=2\) .Questa è una seconda soluzione ,dato che anche in questo caso il sistema precedente è soddisfatto.
Francamente non vedo altre soluzioni.Aspetto conferme .
Anche a me risultano come uniche possibilità [tex]n=\pm 2[/tex]: nello stesso sistema, ho preso [tex]x_3=-x_1-x_2[/tex] dalla prima equazione e l'ho 'sostituito nella seconda; interpretando questa come un'equazione di secondo grado in [tex]x_1[/tex] (intendendo [tex]x_2[/tex] come un parametro), il discriminante è [tex]12-3x_{2}^{2}[/tex], che fornisce un quadrato di intero solo in quattro casi, per [tex]x_2=\pm 1[/tex] e per [tex]x_2=\pm 2[/tex], da cui si ottengono i rispettivi valori prima per [tex]x_1, x_3[/tex] ed infine per [tex]n[/tex], col risultato che ho scritto, salvo ovviamente errori.
Sì. Mi sembra tutto corretto.
Una cosa non ho capito nel ragionamento di @vittorino70. Non ho capito bene questo passaggio:
Una cosa non ho capito nel ragionamento di @vittorino70. Non ho capito bene questo passaggio:
Per non esaminare un "fottio" di casi faccio un'ipotesi supplementare ( tutta da verificare ,comunque!).Precisamente suppongo che la tua equazione abbia una radice doppia e quindi anche soluzione dell'equazione derivata : $3x^2−3=0$
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