Radici di un polinomio

[GiovanniP1]

Ciao,

Se ho un polinomio e non riesco più a scomporlo con la regola di ruffini significa che non ha soluzioni (radici)??
Se si come faccio poi a capire se quel polinomio è sempre maggiore o sempre minore di 0, guardando il segno della x col grado maggiore?

Grazie

[Lorin1]

Per quanto riguarda ruffini non è detto, dipende dal caso.

Per quanto riguarda la seconda questione, uno dei metodi è studiarne il grafico e magari vedere approssimativamente qual è l'andamento della funzione, oppure puoi affidarti puramente all'algebra, ma questo dipende da tanti fattori come: mancanza di radici, segno della disequazione...

Posta un caso concreto, forse sarà più facile per noi spiegare e per te capire.

[GiovanniP1]

Innanzitutto ti ringrazio per l'aiuto...

In realtà mi era venuto questo dubbio durante lo svolgimento di questa disequazione:

$sqrt(x-1)>=root (3) (1-x^3)$

Non so se è corretto ma sto procedendo in questo modo:

Caso $g(x)<0$:

${ ( x-1>=0 ),( 1-x^3<0 ):}$

e trovo che deve essere $x>1$

Caso $g(x)>=0$:

${ ((x-1)^3>=(1-x^3)^2),( 1-x^3>=0 ):}$

E adesso non so risolvere la prima disequazione del sistema,
ho elevato il primo membro al quadrato e il secondo al
cubo per eliminare le radici (anche se non sono sicuro che sia giusto)

e mi viene uno strano polinomio: $x^6-3x^3+3x^2-3x+2<=0$
che scomponendo con ruffini:
$(x-1)^2 (x^4+2 x^3+3 x^2+x+2) <=0$

ed arriviamo quindi al dunque: $x^4+2 x^3+3 x^2+x+2$
di questo polinomio non so trovare ne le radici ne sapere se è positivo o negativo...

Prima di tutto mi chiedevo è giusto il metodo che sto applicando per risolvere la disequazione?
E poi se è corretto come procedo con quel polinomio?

Grazie ancora...

[Gi81]

Il problema di scomporre quel polinomio non si pone nemmeno.
Infatti hai dimenticato un piccolo particolare prima di distinguere i due casi $g(x)<0$ e $g(x)>=0$: le condizioni di esistenza!!!
A primo membro, infatti, hai $sqrt(x-1)$, dunque devi restringere il campo di esistenza a $x>=1$
Sotto questa condizione il primo membro è sempre positivo o nullo, mentre il secondo è sempre negativo o nullo.
Dunque la disuguaglianza è verificata per $x>=1$. Fine

ll tuo procedimento non è sbagliato... Solo che è molto lungo e inutile, anche perchè devi fare una montagna di calcoli
Per concludere il tuo discorso, puoi notare che il polinomio $x^4+2x^3+3x^2+x+2$ è sempre positivo.
Infatti, $x^4+2x^3+3x^2+x+2=(x^4+2x^3+x^2)+(2x^2+x+2)=x^2*(x^2+2x+1)+(2x^2+x+2)=x^2*(x+1)^2+(2x^2+x+2)$
Il primo addendo, $x^2*(x+1)^2$, è sempre positivo (o nullo) perchè è prodotto di quadrati
Il secondo addendo, $2x^2+x+2$, è sempre positivo perchè ha discriminante negativo e coefficiente di grado massimo positivo.
Pertanto anche la somma è positiva