Radici complesse coniugate e polinomi a coeff. reali

[Дэвид1]

Buona sera. Nello studio dei complessi ci siamo imbattuti nel seguente pseudo-teorema. Non saprei bene definirlo, perché ovviamente non è formale come si richiederebbe, dato che introdotto in 4a superiore. Ad ogni modo:
"Le radici complesse di un polinomio a coefficienti reali sono coniugate, come le radici reali di un polinomio a coefficienti razionali sono reali e opposte."
O qualcosa del genere...da cosa deriva questo?
Mi rendo conto (o forse non del tutto) di quanto questo sia poco "rigoroso" e forse nemmeno giusto. Quella che vi chiedo è il corrispettivo formale, ed il suo significato.

[@melia]

La prima parte del teorema è corretta:
Le radici complesse (intese come non reali, cioè quelle del tipo $a+ib$ con $b !=0$) di un polinomio a coefficienti reali sono coniugate.
La seconda parte scritta così è sbagliata. Correttamente:
Le radici reali non razionali di un polinomio a coefficienti razionali hanno le componenti irrazionali opposte.
Infatti, per fare un esempio, le soluzioni dell'equazione
$x^2+x-1=0$
sono $x_1= -1/2-sqrt5/2$ e $x_2 = -1/2+sqrt5/2$, queste soluzioni sono composte da una parte razionale e da una irrazionale, la parte non razionale delle soluzioni è opposta.

[Дэвид1]

Grazie mille della messa a punto. Ecco. Questa somiglianza, da dove deriva?

[@melia]

Nelle equazioni di secondo grado è banale da vedere perché basta scrivere l'equazione nella forma $x^2-sx+p=0$, il coefficiente del termine di primo grado deve essere l'opposto della somma delle soluzioni e il termine noto il prodotto, se la somma non deve contenere il termine immaginario (o quello irrazionale) questi devono essere opposti, inoltre per poterli eliminare dal prodotto devono essere tali da non generare il termine misto, quindi il coefficiente reale (o razionale) deve essere lo stesso.

Per le equazioni di grado superiore, l'operazione da fare è dello stesso tipo, anche se in forma più elaborata.