Radice quarta di un numero complesso
Premetto che ho cercato un po' qui sul forum ma quelli che ho visto riguardavano cose diverse.
$z^4 = -324$
Sia $z= r (cos\theta +i sin\theta)$ con $(r>0 , 0<\theta<= 2\pi)$
Allora vale l' espressione 1) : $z^4 = r^4 (cos4\theta + isin4\theta)$
Trova i valori di $r$ e $\theta$ tale che l'espressione 1) valga $-324$.
Usando la regola per le radici dei numeri complessi ho che:
$(-324)^(1/4)= r^(1/4) (cos(\theta +(k\pi)/2) + i sen(\theta +(k\pi)/2))$
Un po' a caso ho posto $r= 324$ ed ho trovato il risultato del libro, cioè $r= 3\sqrt{2}$ ma non so bene perchè... In più non so come trovare gli angoli $\theta$ corrispondenti.
PS: il comando {\sqrt[n]{abc}} non scrive la radice di indice quarta. Come si scrive?
$z^4 = -324$
Sia $z= r (cos\theta +i sin\theta)$ con $(r>0 , 0<\theta<= 2\pi)$
Allora vale l' espressione 1) : $z^4 = r^4 (cos4\theta + isin4\theta)$
Trova i valori di $r$ e $\theta$ tale che l'espressione 1) valga $-324$.
Usando la regola per le radici dei numeri complessi ho che:
$(-324)^(1/4)= r^(1/4) (cos(\theta +(k\pi)/2) + i sen(\theta +(k\pi)/2))$
Un po' a caso ho posto $r= 324$ ed ho trovato il risultato del libro, cioè $r= 3\sqrt{2}$ ma non so bene perchè... In più non so come trovare gli angoli $\theta$ corrispondenti.
PS: il comando {\sqrt[n]{abc}} non scrive la radice di indice quarta. Come si scrive?
Risposte
La regola è semplice 
Se hai il numero complesso $w$ con modulo $rho$ e argomento $alpha+2kpi$ allora il modulo della sua radice ennesima sarà $root(n)(rho)$ e gli argomenti delle sue $n$ radici ennesime saranno $(alpha+2kpi)/n$ con $k$ intero che varia da $0$ a $n-1$
Nel tuo caso hai il numero complesso $z^4=w$ il cui modulo è $rho=324$ e il cui argomento è $-pi+2kpi$.
Prosegui ...
Cordialmente, Alex
Se hai il numero complesso $w$ con modulo $rho$ e argomento $alpha+2kpi$ allora il modulo della sua radice ennesima sarà $root(n)(rho)$ e gli argomenti delle sue $n$ radici ennesime saranno $(alpha+2kpi)/n$ con $k$ intero che varia da $0$ a $n-1$
Nel tuo caso hai il numero complesso $z^4=w$ il cui modulo è $rho=324$ e il cui argomento è $-pi+2kpi$.
Prosegui ...
Cordialmente, Alex
$r^4(cos(4theta)+isin(4theta))=324(cos(pi)+isin(pi))$
quindi $r=(324)^(1/4)$ e $theta=pi/4+kpi/2,k=0,1,2,3$
EDIT:
Scusa Alex non me ne sono accorto che avessi risposto
quindi $r=(324)^(1/4)$ e $theta=pi/4+kpi/2,k=0,1,2,3$
EDIT:
Scusa Alex non me ne sono accorto che avessi risposto
Non è mica un problema
"axpgn":
La regola è semplice
Se hai il numero complesso $w$ con modulo $rho$ e argomento $alpha+2kpi$ allora il modulo della sua radice ennesima sarà $root(n)(rho)$ e gli argomenti delle sue $n$ radici ennesime saranno $(alpha+2kpi)/n$ con $k$ intero che varia da $0$ a $n-1$
Nel tuo caso hai il numero complesso $z^4=w$ il cui modulo è $rho=324$ e il cui argomento è $-pi+2kpi$.
Come mai $rho = r^4 = 324$?
Dopo aver trovato $rho$, essendo $z^4 = -324$, la parte immaginaria $i$ non c'è (quindi $sin\theta= sin\pi = 0$) e pongo anche che $cos\theta = cos\pi = -1$ perchè arrivi ad avere il segno negativo che moltiplichi il radicale.
Però ho un dubbio, se facessi $root(4)(z^4) = z = root(4)(-324)$, poi potrei fare qualcosa in più?
Per quanto riguarda i calcoli che avete fatto ho capito il procedimento, essendo quelli della regola detta da axpgn.
Grazie ad entrambi
Come si calcola il modulo di un numero complesso?
"axpgn":
Come si calcola il modulo di un numero complesso?
$r = \sqrt(a^2 + b^2)$ ?
E quindi qual è il modulo di $z^4=w$ cioè $|z^4|=|w|=rho$ ? Quali sono $a$ e $b$ ?
"axpgn":
E quindi qual è il modulo di $z^4=w$ cioè $|z^4|=|w|=rho$ ? Quali sono $a$ e $b$ ?
Aaa forse ci sono...
essendo
$z= rcos(\theta) + risin(\theta)$
$rcos\theta = a$ mentre $risin\theta = bi$.
e quindi $rcos\theta = root(4)(-324)$? Non ho capito questo.
Perché complicarsi la vita? Tu hai $z^4=w=a+ib=(-324)+i(0)$ cioè $a= -324$ e $b=0$. È chiaro così ?
"axpgn":
Perché complicarsi la vita? Tu hai $z^4=w=a+ib=(-324)+i(0)$ cioè $a= -324$ e $b=0$. È chiaro così ?
Uhm ok, e se volessi trovare $z$ facendo la radice quarta?
$z = 3\sqrt{2i}$?
"TheBarbarios":
Uhm ok, e se volessi trovare $z$ facendo la radice quarta?
Fammi capire: di cosa abbiamo parlato finora? Di Sanremo? Dei mondiali? L'ho scritto nel primo post come si calcola la radice quarta di un numero complesso anzi le quattro radici quarte ...
"axpgn":
[quote="TheBarbarios"]Uhm ok, e se volessi trovare $z$ facendo la radice quarta?
Fammi capire: di cosa abbiamo parlato finora? Di Sanremo? Dei mondiali? L'ho scritto nel primo post come si calcola la radice quarta di un numero complesso anzi le quattro radici quarte ...
[/quote]
Ok quindi non si può 
. Pensavo che facendo la radice quarta come un numero normale ne uscisse qualcosa, anche senza scriverlo in forma trigonometrica, tutto qui. Non prendertela e, anzi, grazie dell'aiuto.
Ma fatti un esempio generale del tipo $z^n=w$
Impara questo e sarai a posto per la vita con ste cose
Impara questo e sarai a posto per la vita con ste cose
"anto_zoolander":
Ma fatti un esempio generale del tipo $z^n=w$
Impara questo e sarai a posto per la vita con ste cose
Si, mi imparo bene la procedura che mi ha scritto all'inizio Alex.
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