Radice e potenza

[anonymous_b6a329]

Ciao a tutti di nuovo, oltre a ringraziarvi per la scorsa volta e il vostro aiuto sono qui per chiedervi un chiarimento su una faccenda che vorrei capire bene e a fondo.

Il mio dubbio è stupido e è il seguente:

perché $(\sqrtx)^2=x$ e non $(\sqrtx)^2=|x|$

lo applico sempre a "macchinetta" senza essermi mai soffermato a ragionarci, la giustificazione potrebbe essere che dato che parto da $(\sqrtx)^2$ sicuramente vuol dire che la quantitàsotto radice deve essere positiva, quindi nelmedesimo campo di esistenza è uguale a x. E' giusto?

(approfondimento: contrariamente a $(\sqrtx^2)=|x|$ qui il modulo ci va proprio, questo perché non ho condizioni esistenziali iniziali sulla x e i due membri non equivarrebbero altrimenti)

Grazie per il vostro sempre gentile aiuto

[Laika1969]

Buona la 2, l' altra vale solo se x>0, la seconda vale sempre.
La radice e' quel numero che elevato al quadrato ti da il radicando
E quel numero, sia negativo, che positivo, se lo elevi al quadrato diventa o resta positivo.

[@melia]

Perché affinché esista $sqrtx$ la variabile deve essere non negativa, quindi è per le condizioni di esistenza si deve porre $x>=0$.
Sapendo che $x>=0$ non ha più senso scrivere che $(sqrt(x))^2=|x|$ perché
$|x|=\{(x, se\ \ x>=0),(-x, se \ \x<0):}$, ma noi sappiamo già, per le condizioni di esistenza, che $x>=0$, quindi $(sqrt(x))^2=x$

Invece $sqrt(x^2)$ esiste per qualunque valore di $x$ infatti il radicando è sempre $>=0$, in questo caso, poiché il secondo membro deve avere lo stesso segno del primo (devono essere entrambi sempre positivi)
$sqrt(x^2)=|x|$

[anonymous_b6a329]

Grazie ad entrambi per le risposte.

@amelia: grazie per la chiarezza, era proprio quello che volevo dire ma espresso in modo molto chiaro. Grazie

[@melia]

Lo avevo capito, ma sai repetita iuvant.