Radice doppio, dubbio [numeri complessi]

[mathos2000]

Calcolare le radici n-esime di:
$sqrt(1+isqrt3)$

Per trovare le radici n-esime di questo numero complesso avevo pensato prima di scrivere questa radice nella seguente forma:

$sqrt(1+sqrt(3i^2))$

e applicare la formula del radice doppio.

A questo punto giungo a $sqrt(3/2) + isqrt(1/2)$ e semplificando arrivo a $sqrt2/2(3+i)$

Quest'ultima che ho trovato, è una delle due soluzioni riportate dal libro di testo di riferimento.
Il punto è che manca l'altra $-sqrt2/2(3+i)$

Direi di essere un pò disorientato, perchè con la formula del radicale doppio pensavo di scrivere la radice iniziale in una forma "più canonica" per poi procedere con la forma goniometrica (e trovare le radici che mi servono con l'apposita formula).
Ma a quanto pare nello scrivere il radicale in un'altra maniera sono giunto ad una delle soluzioni...
Mi servirebbero delle spiegazioni a riguardo (come "sia successo" ciò, come si giunge alla seconda soluzione)

....Già che ci siamo: che dovrei fare con una radicale doppio di questo tipo? (indice=4) [non ho una minima idea di che fare, e se ce l'ho non fa concludere nulla]

$4sqrt(16-16isqrt3)$ [IL 4 E' INDICE DELLA RADICE. PER CUI ABBIAMO UNA RADICE QUARTA QUI, NON UNA RADICE MOLTIPLICATA PER 4]

Grazie per le risposte

[axpgn]

Nei complessi se hai una radice ennesima, le radici saranno $n$ ... per trovarle basta utilizzare la nota formula (in teoria perché poi in pratica i calcoli possono essere "fastidiosi" ... )

[@melia]

Ma se devi trovare una semplice radice quadrata,
in $RR$ hai che $sqrt4=2$
in $CC$ invece $sqrt4=+-2$
Nel caso particolare, quindi, $ sqrt(1+isqrt3) = +- sqrt2/2(3+i) $

Invece, quando devi calcolare la radice ennesima, $root(n) (a+ib)$, l'unico metodo sicuro è quello consigliato da axpgn