Radice di un binomio $ sqrt(a+b) $

[Il Pitagorico]

qual è la soluzione della radice di un binomio? $ sqrt(a+b) $

[chiaraotta1]

Scusa, ma non mi è chiara la domanda: cosa intendi esattamente con soluzione della radice di un binomio?

[Il Pitagorico]

scusate, ma non sono pratico con il linguaggio formale, intendo dire che visto che esiste la soluzione al quadrato di un binomio $ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab $, esiste anche una soluzione espressa con un polinomio alla radice di un binomio?

[@melia]

No, non esiste. Non è sicura neppure l'esistenza della radice, infatti le radici ad indice pari sono corredate da condizioni di esistenza, che nel caso dell'esercizio in questione sono $a+b>=0$.

[Il Pitagorico]

ho notato però che:

$ sqrt(16+9)=sqrt(16)+sqrt(9)-2=5; sqrt(144+25)=sqrt(144)+sqrt(25)-4=13;sqrt(225+64)=sqrt(225)+sqrt(64)-6=17 $

il terzo membro (nelle terne) è uguale a un numero pari negativo

[Il Pitagorico]

terne pitagoriche intendo

[@melia]

Questo non toglie che non esiste una formula per esprimere la radice di una semplice somma di due numeri.

[Il Pitagorico]

per curiosità, puoi dimostrarmi perchè non può esistere questa formula, ho capito il campo di esistenza, infatti nel campo dei numeri reali tale binomio se avesse una soluzione negativa non avrebbe un significato

[Il Pitagorico]

io pensavo di partire con \( a+b\geq 0 \) , poi \( sqrt( a+b) =sqrt (a )+sqrt (b) +x \), il mio problema è che non riesco a dare una soluzione con un monomio o polinomio che sia a quella x, se a e b sono numeri appartenenti ai cateti di una terna al quadrato, allora la soluzione è un numero pari negativo ( non riuscendo però a trovare nessuna reale relazione fra i numeri delle terne e i valori di x). ho poi avuto un problema quando ho inserito numeri irrazionali, non trovandovi alcuna relazione. sono però tutti numeri negativi, credo.

[@melia]

Quando ti ho detto che la formula non esiste, è perché non esiste proprio, non perché ti stessi prendendo in giro. Il motivo è lo stesso del fatto che tutti i numeri naturali sono dotati di quadrato anch'esso naturale, ma solo pochi hanno per radice un numero naturale, le radici dei numeri naturali sono, di solito, irrazionali.

[giammaria2]

Confermo in pieno la risposta di @melia e non ha molto significato chiedersi "perchè non può esistere questa formula": sono molti i casi in cui una formula ci farebbe piacere ma non esiste.
Se però ci riferiamo al tuo "terne pitagoriche intendo", allora qualcosa si può fare ma la domanda va modificata: non chiedi una formula per $sqrt(a+b)$ bensì per $sqrt(a^2+b^2)$, sapendo che $a,b$ sono interi positivi e che il risultato è l'intero positivo $c$. Tu vuoi trovare $x$ in modo che si abbia $a+b+x=c$.
Come probabilmente sai, tutte le terne pitagoriche sono del tipo
$a=k(u^2-v^2), b=2kuv, c=k(u^2+v^2)$
essendo $k,u,v$ numeri interi positivi con $u>v$. Sostituendo nella $a+b+x=c$ ottieni
$k(u^2-v^2)+2kuv+x=k(u^2+v^2)->...->x=2kv(v-u)$
che è appunto un numero pari negativo.

Lasciando da parte le terne pitagoriche e lavorando solo con $a,b$ positivi (anche irrazionali) dimostri facilmente che $sqrt(a+b)

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[Il Pitagorico]

grazie molte, finalmente mi è tutto un po più chiaro!