Radice con valore assoluto

[nicolaflute]

Ciao a tutti vorrei chiedervi una cosa su questo semplice radicale [tex]\sqrt[4]{a^2}[/tex] è uguale ovviamente a [tex]\sqrt{|a|}[/tex] che è quindi uguale a [tex]\sqrt{a}[/tex] se [tex]a\geq0[/tex] è uguale a [tex]\sqrt{-a}[/tex] se a<0; quello che voglio chiedervi è qual'è il risultato di quest'ultima radice?? Non si dovrebbe introdurre l'unità immaginaria perchè se a<0 si mette il - davanti per definizione.A Quindi come sarebbe??

[Lorin1]

io avrei detto $root(4)(a^2)=a^(2/4)=a^(1/2)=sqrt(a)$

non con il valore assoluto. Il discorso che dici tu vale in questo caso $sqrt(x^2)=|x|$, per questo non ti trovi con il ragionamento!

[alfaceti]

Infatti. Ricordo che una discussione del genere è già stata fatta.

[cenzo1]

"Lorin":io avrei detto $root(4)(a^2)=a^(2/4)=a^(1/2)=sqrt(a)$

Quindi dici che $root(4)((-4)^2)=sqrt(-4)$ ?

[Gi81]

Sono d'accordo con quanto detto da cenzo: $root4(a^2)=sqrt|a|$. Il valore assoluto ci vuole
Quindi, per rispondere a nicolaflute, è corretto quello che hai scritto: $root4(a^2)={(sqrt(a), a>=0),(sqrt(-a), a<0):}$
Ovviamente, se $a<0$, $-a$ è un numero positivo e dunque $sqrt(-a)$ è un numero reale

[nicolaflute]

GI8 ok va bene però una cosa...
[tex]\sqrt{-a}[/tex] si può riscrivere come [tex]\sqrt{-1}*\sqrt{a}[/tex], questo però secondo me è sbagliato ma non so perchè potreste chirarire il mio dubbio? Grazie

[Gi81]

No, non puoi riscrivere in quel modo. Siamo in $RR$, quindi non si può avere un numero negativo sotto radice quadrata.
Se $a<0$ abbiamo che $sqrt|a|=sqrt(-a)$, per quanto detto prima.
Ora, sicuramente $sqrt(-a)=sqrt(-1*a)$. Ma non puoi spezzare nel prodotto di due radici.
Se ti riesce difficile comprendere ciò, fatti un esempio numerico: prendiamo ad esempio $a=-5$: $sqrt(-a)=sqrt(-(-5))$ (fin qui ci sei).
Puoi dire che $sqrt(-(-5))=sqrt(-1*-5)$, ma non che questo è uguale a $sqrt(-1)*sqrt(-5)$

[nicolaflute]

Ok quindi in quel caso non si può riscrivere grazie mille!