Radicali e proprietà simmetrica dell'uguaglianza.

[Nevermind08]

Considerando le seguenti due uguaglianze (dove $ a in RR $ ):
1) $ (root(3)(a))^2=root(3)(a^2) $

2) $ root(3)(a^2)=(root(3)(a))^2 $

La prima uguaglianza è vera;
la seconda è falsa.
Sembrerebbe apparentemente che la proprietà simmetrica dell'uguaglianza (la quale afferma in generale che: se $ a = b $ allora $ b = a $) non valga!
Sicuramente se $ a in RR_0^+ $ le uguaglianze sarebbero entrambe vere e quindi varrebbe la proprietà simmetrica dell'uguaglianza.

Mi sapreste dare una spiegazione esauriente su questo fatto?
Avreste altri esempi (anche che non riguardino i radicali) dove non valga la proprietà simmetrica dell'uguaglianza?

Grazie.

[Gi81]

Guarda che stai prendendo un abbaglio... Entrambe le uguaglianze sono vere... O meglio, poichè le due uguaglianze hanno gli stessi termini (semplicemente, sono scambiati), l'uguaglianza è sempre verificata, anche con i numeri negativi. Perchè mai non dovrebbe?

[G.D.5]

L'uguaglianza senza la proprietà simmetrica non è l'uguaglianza: ricordo infatti che il simbolo di uguaglianza ha tra gli assiomi logici che lo definiscono proprio quello sulla validità della proprietà simmetrica.

[Nevermind08]

"Gi8":Guarda che stai prendendo un abbaglio... Entrambe le uguaglianze sono vere... O meglio, poichè le due uguaglianze hanno gli stessi termini (semplicemente, sono scambiati), l'uguaglianza è sempre verificata, anche con i numeri negativi. Perchè mai non dovrebbe?

...deduco allora che la seconda soluzione riportata dal libro (della CEDAM - "Aspetti di Algebra 2") è errata (sono quindi entrambe vere, come supponevo!).
Mi sembrava strano e perciò cercavo una conferma sul fatto che come afferma giustamente WiZaRd:

L'uguaglianza senza la proprietà simmetrica non è l'uguaglianza: il simbolo di uguaglianza ha tra gli assiomi logici che lo definiscono proprio quello sulla validità della proprietà simmetrica.