Radicali
Salve, qualcuno mi potrebbe dimostrare in maniera più chiara possibile (è una richiesta in più da parte della scuola) perchè la divisione tra due numeri naturali non può mai dare un numero irrazionale?
Chiara perchè senza qualcuno che mi parla e mi spiega faccio fatica a capire i passaggi
Grazie mille
Chiara perchè senza qualcuno che mi parla e mi spiega faccio fatica a capire i passaggi
Grazie mille
Risposte
Di solito la definizione è "Si dice numero razionale il rapporto (cioè la divisione) fra due numeri interi, con divisore diverso da zero; gli altri numeri si dicono irrazionali". E' chiaro che con questa definizione la tua domanda ha risposta ovvia: "per definizione".
Visto che la poni, penso che la tua definizione sia stata "Si dice numero irrazionale un decimale non limitato e non periodico": dimostriamo allora che dalla divisione $a:b$ si ottiene sempre un decimale limitato o periodico. Pensa di fare la divisione; arrivati alla posizione della virgola, se c'è un resto vi aggiungi uno zero e continui; se c'è ancora un resto aggiungi un altro zero, eccetera.
Se ad un certo punto il resto è zero, la divisione è finita ed hai un decimale limitato.
Se non ottieni mai zero, il resto può essere un numero compreso fra $1$ e $b-1$ (il resto è sempre minore di $b$) e quindi prima o poi, al massimo dopo $b-1$ resti diversi fra loro, troverai un resto uguale ad uno precedente. Da quel punto in poi i calcoli si ripetono tali e quali e quindi si ripetono anche le cifre che scrivi nel risultato: hai un numero periodico.
Visto che la poni, penso che la tua definizione sia stata "Si dice numero irrazionale un decimale non limitato e non periodico": dimostriamo allora che dalla divisione $a:b$ si ottiene sempre un decimale limitato o periodico. Pensa di fare la divisione; arrivati alla posizione della virgola, se c'è un resto vi aggiungi uno zero e continui; se c'è ancora un resto aggiungi un altro zero, eccetera.
Se ad un certo punto il resto è zero, la divisione è finita ed hai un decimale limitato.
Se non ottieni mai zero, il resto può essere un numero compreso fra $1$ e $b-1$ (il resto è sempre minore di $b$) e quindi prima o poi, al massimo dopo $b-1$ resti diversi fra loro, troverai un resto uguale ad uno precedente. Da quel punto in poi i calcoli si ripetono tali e quali e quindi si ripetono anche le cifre che scrivi nel risultato: hai un numero periodico.
La tua formulazione è scorretta, leggendo il titolo immagino tu voglia chiedere perché la radice ennesima di un numero intero positivo è intera o è irrazionale.
In termini matematici vuoi dimostrare che se $x\inZZ$ (se $x$ appartiene all'insieme dei numeri interi) non può accadere che $root(n)(x)=a/b$ essendo $a,b\inZZ$, e sapendo che $b$ NON divide $a$ (altrimenti sarebbe un numero intero).
E' evidente che se $b$ non divide $a$, allo stesso modo una potenza di $b$ non divide una potenza di $a$
Elevando all'ennesima potenza la tua uguaglianza ottieni che $x=(a/b)^n=a^n/b^n$, cioè un numero intero uguale ad un numero non intero, fatto impossibile.
In termini matematici vuoi dimostrare che se $x\inZZ$ (se $x$ appartiene all'insieme dei numeri interi) non può accadere che $root(n)(x)=a/b$ essendo $a,b\inZZ$, e sapendo che $b$ NON divide $a$ (altrimenti sarebbe un numero intero).
E' evidente che se $b$ non divide $a$, allo stesso modo una potenza di $b$ non divide una potenza di $a$
Elevando all'ennesima potenza la tua uguaglianza ottieni che $x=(a/b)^n=a^n/b^n$, cioè un numero intero uguale ad un numero non intero, fatto impossibile.
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