Radicale particolare
Salve a tutti. Ho un dubbio sulla semplificazione di questo radicale (lavoriamo in R):
\(\displaystyle \sqrt{\frac{(2x+1)^2}{x^3}} \)
Le condizioni di esistenza sono: \(\displaystyle x=-\frac{1}{2} \vee x>0\).
Il libro di testo riporta come semplificazione:
\(\displaystyle \frac{2x+1}{x\sqrt{x}} \)
ma in questo modo \(\displaystyle -\frac{1}{2} \) non è più accettabile. Secondo me la versione corretta dovrebbe essere
\(\displaystyle \frac{2x+1}{x\sqrt{|x|}} \) (o eventualmente \(\displaystyle \frac{2x+1}{|x|\sqrt{|x|}} \) anche se cmq vale 0 per \(\displaystyle x=-\frac{1}{2} \))
per poter preservare le condizioni di esistenza.
Che ne dite?
\(\displaystyle \sqrt{\frac{(2x+1)^2}{x^3}} \)
Le condizioni di esistenza sono: \(\displaystyle x=-\frac{1}{2} \vee x>0\).
Il libro di testo riporta come semplificazione:
\(\displaystyle \frac{2x+1}{x\sqrt{x}} \)
ma in questo modo \(\displaystyle -\frac{1}{2} \) non è più accettabile. Secondo me la versione corretta dovrebbe essere
\(\displaystyle \frac{2x+1}{x\sqrt{|x|}} \) (o eventualmente \(\displaystyle \frac{2x+1}{|x|\sqrt{|x|}} \) anche se cmq vale 0 per \(\displaystyle x=-\frac{1}{2} \))
per poter preservare le condizioni di esistenza.
Che ne dite?
Risposte
Hai commesso un errore nelle CE.
Il numeratore, essendo un quadrato è sempre non-negativo. Quindi l'unica restrizione di dominio è sul denominatore: x diverso da zero.
La semplificazione del libro è doverosa.
Il numeratore, essendo un quadrato è sempre non-negativo. Quindi l'unica restrizione di dominio è sul denominatore: x diverso da zero.
La semplificazione del libro è doverosa.
C.E. $x>0$
Il denominatore deve essere positivo, il numeratore è sempre non negativo.
La semplificazione indicata dal libro è corretta, non servono valori assoluti da nessuna parte data la C.E.
Il denominatore deve essere positivo, il numeratore è sempre non negativo.
La semplificazione indicata dal libro è corretta, non servono valori assoluti da nessuna parte data la C.E.
C'è qualcosa che mi sfugge... o mi sto facendo troppe seghe mentali.
Le CE impongono che il radicando sia nonnegativo ovvero
\(\displaystyle \frac{(2x+1)^2}{x^3}\ge 0 \)
che risolta fornisce
\(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\vee x>0\)
Imponendo come CE soltanto \(\displaystyle x>0 \) perdiamo un valore che in realtà è accettabile per il radicale.
Le CE impongono che il radicando sia nonnegativo ovvero
\(\displaystyle \frac{(2x+1)^2}{x^3}\ge 0 \)
che risolta fornisce
\(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\vee x>0\)
Imponendo come CE soltanto \(\displaystyle x>0 \) perdiamo un valore che in realtà è accettabile per il radicale.
"alextimes":
Hai commesso un errore nelle CE....
La semplificazione del libro è doverosa.
Mah! La penso diversamente: il CE trovato è corretto (sono poi sbagliati i tentativi di trasformare il radicale, ma questo non ha adesso importanza).
Semplifichiamo la situazione per capirci meglio. Es. $ sqrt(x^4(x-1)) $ Il CE è $ x>=1 vv x=0 $.
Semplificando in $ x^2sqrt(x-1) $, come tu asserisci esser doveroso, il CE, determinato secondo gli usuali procedimenti, cambia.
Ciao
In effetti è la stessa situazione. In questo caso io avrei semplificato come
\(\displaystyle x^2\sqrt{|x-1|} \)
proprio per conservare \(\displaystyle x=0 \)
\(\displaystyle x^2\sqrt{|x-1|} \)
proprio per conservare \(\displaystyle x=0 \)
"onanista":No. Come già nel primo messaggio, utilizzi impropriamente il valore assoluto. Per tappare una piccola falla fai a pezzi l'imbarcazione. I risultati che proponi sono funzioni del tutto diverse da quelle iniziali. Ad esempio l'ultima esiste per ogni $ x$.
o avrei semplificato come...
Non ho soluzioni 'magiche': o si lascia nel radicale il colpevole dello zero, in questo caso $ |x| sqrt(x^2(x-1) $ andrebbe bene; oppure si specifica espressamente che al CE di $ x^2 sqrt(x-1) $ occorre aggiungere $ x=0 $.
Ciao
Ma se aggiungo al CE di \(\displaystyle x^2\sqrt{x-1} \) 0, che succede quando sostituisco?
\(\displaystyle 0^2\sqrt{0-1}=0\sqrt{-1} \)=?
Non posso scrivere 0 poiché \(\displaystyle \sqrt{-1} \) non è definito in R.
Se parlassimo di funzioni potremmo facilmente definirne una per casi che vale 0 per x=0 e \(\displaystyle x^2\sqrt{x-1} \) per \(\displaystyle x\ge 1 \) ma dal momento che parliamo di radicali proposti come CE e semplificazione a studenti del secondo superiore come la mettiamo? Il problema è questo.
Nel mio caso è sbagliato il risultato del libro (non considera più -1/2), è sbagliato il mio (in effetti ho usato il va per tamponare una falla); probabilmente è inopportuno porre un simile caso limite a studenti che iniziano a maneggiare i radicali.
\(\displaystyle 0^2\sqrt{0-1}=0\sqrt{-1} \)=?
Non posso scrivere 0 poiché \(\displaystyle \sqrt{-1} \) non è definito in R.
Se parlassimo di funzioni potremmo facilmente definirne una per casi che vale 0 per x=0 e \(\displaystyle x^2\sqrt{x-1} \) per \(\displaystyle x\ge 1 \) ma dal momento che parliamo di radicali proposti come CE e semplificazione a studenti del secondo superiore come la mettiamo? Il problema è questo.
Nel mio caso è sbagliato il risultato del libro (non considera più -1/2), è sbagliato il mio (in effetti ho usato il va per tamponare una falla); probabilmente è inopportuno porre un simile caso limite a studenti che iniziano a maneggiare i radicali.
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