"Dimostrazione forzata"
Ecco un problema dove viene dato un suggerimento che non riesco a capire ...Mi sono affidato ad altre strade ma sicuramente sono sbagliate...
Ecco il testo:
E' dato il triangolo BAC; dal vertice A e dalla parte del lato AC si conduca la perpendicolare ad AB e su di essa si prenda AD=AB.Analogamente da A si conduca dalla parte di AB la perpendicolare al lato AC e su di essa si prenda AE=AC.Dimostrare che l'altezza AH del triangolo DAE è mediana del triangolo ABC.
Suggerimento:Si conduca da B la parallela al lato AC che incontri il prolungamento di AH in A' e si considerino i due triangoli EAD e A'BA.
SVOLGIMENTO:
Ho seguito il suggerimento del libro ma non sono riuscito ad andare avanti...Ho ragionato così
poichè
AD=AB e AE=AC
unendo B con D e C con E ottengo due triangoli rettangoli isosceli.
Adesso so che in un triangolo rettangolo isoscele Altezza ,mediana e bisettrice coincidono.
Detto AV il prolungamento dell'altezza AH:un prolungamento di un altezza è sempre un'altezza.Dunque se considero ad esempio il triangolo rettangolo isoscele ABD, AV è altezza,bisettrice e mediana ma allora anche AH sarà bisettrice,altezza e mediana.Dopodichè considero i due triangoli in cui AK divide il triangolo ABC:ne dimostro la congruenza,deduco ABC isoscele e quindi la tesi
Adesso che ci penso:se io ho una retta perpendicolare chiamiamola sempre AV e prendo un segmento qualsiasi su questa retta chiamiamolo sempre AH ...Il segmento AH sarà sempre perpendicolare...dunque il mio ragionamento "dovrebbe" essere giusto...
Ecco il testo:
E' dato il triangolo BAC; dal vertice A e dalla parte del lato AC si conduca la perpendicolare ad AB e su di essa si prenda AD=AB.Analogamente da A si conduca dalla parte di AB la perpendicolare al lato AC e su di essa si prenda AE=AC.Dimostrare che l'altezza AH del triangolo DAE è mediana del triangolo ABC.
Suggerimento:Si conduca da B la parallela al lato AC che incontri il prolungamento di AH in A' e si considerino i due triangoli EAD e A'BA.
SVOLGIMENTO:
Ho seguito il suggerimento del libro ma non sono riuscito ad andare avanti...Ho ragionato così
poichè
AD=AB e AE=AC
unendo B con D e C con E ottengo due triangoli rettangoli isosceli.
Adesso so che in un triangolo rettangolo isoscele Altezza ,mediana e bisettrice coincidono.
Detto AV il prolungamento dell'altezza AH:un prolungamento di un altezza è sempre un'altezza.Dunque se considero ad esempio il triangolo rettangolo isoscele ABD, AV è altezza,bisettrice e mediana ma allora anche AH sarà bisettrice,altezza e mediana.Dopodichè considero i due triangoli in cui AK divide il triangolo ABC:ne dimostro la congruenza,deduco ABC isoscele e quindi la tesi
Adesso che ci penso:se io ho una retta perpendicolare chiamiamola sempre AV e prendo un segmento qualsiasi su questa retta chiamiamolo sempre AH ...Il segmento AH sarà sempre perpendicolare...dunque il mio ragionamento "dovrebbe" essere giusto...
Risposte
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http://imageshack.us/photo/my-images/233/marcojz.png/[/url]
Guarda che AH è perpendicolare ad ED e non anche a BD e questo fa cadere il ragionamento.Del resto basta osservare che giungi a considerare ABC come isoscele ,cosa che la consegna non dice.Prova invece a dimostrare che i triangoli AED ed ABA' sono congruenti .In tal modo riuscirai a dimostrare che il quadrilatero ABA'C è un parallelogramma ed in esso le diagonali AA' e BC si dimezzano scambievolmente.Ti ho preparato una disegno fatto con Geogebra:clicca sopra il link ,ti potrà dare qualche indicazione su certi angoli...
http://imageshack.us/photo/my-images/233/marcojz.png/[/url]
Guarda che AH è perpendicolare ad ED e non anche a BD e questo fa cadere il ragionamento.Del resto basta osservare che giungi a considerare ABC come isoscele ,cosa che la consegna non dice.Prova invece a dimostrare che i triangoli AED ed ABA' sono congruenti .In tal modo riuscirai a dimostrare che il quadrilatero ABA'C è un parallelogramma ed in esso le diagonali AA' e BC si dimezzano scambievolmente.Ti ho preparato una disegno fatto con Geogebra:clicca sopra il link ,ti potrà dare qualche indicazione su certi angoli...
Infatti non riesco a capire come dimostrare la congruenza di quei due angoli.Adesso rifaccio il disegno perchè è incasinato e ti faccio sapere.
Guarda riesco a dimostrare la congruenza di un lato e di un angolo ma mi manca un altro dato per dimostrare la congruenza dei due triangoli...
Dopo aver consumato 7 fogli e ore di riflessioni sono arrivato a dimostrare che quei triangoli sono congruenti...uff...Adesso vedo di prendere il tuo consiglio come guida.
La dimostrazione è più facile a vederla sulla figura che a leggerla.Ci provo ma tu dovresti modificare la figura.
Chiama a,b,c gli angoli in A ,B e C di ABC e poni :
A'AC=MAC=HAC=u
Da qui segue che :
BAH=BAM=BAC-MAC=a-u
Poi:
EAB=EAC-BAC=90°-a
(1) EAD=DAB+EAB=90°+(90-a)=180°-a=b+c=ABA'
AED=AEH=EHA-EAH=EHA-EAB-BAH=90°-(90°-a)-(a-u)=u
(2) BA'A=180°-ABA'-BAA'=180°-ABA'-BAH=180°-(b+c)-(a-u)=180°-(a+b+c)+u=180°-180°+u=u=AED
In conclusione da (1) e (2) hai :
EAD=ABA'
AED=BA'A
Per costruzione è:
AD=AB
Pertanto i triangoli AED e ABA' sono congruenti e dunque è pure
BA'=AE =AC
Il quadrilatero ABA'C ,avendo i lati opposti BA' e AC paralleli e congruenti è un parallelogramma
e pertanto le sue diagonali AA' e BC s'intersecano nel loro comune punto medio M.Ne segue che AM
è la mediana di ABC relativa al lato BC.
C.V.D.
Chiama a,b,c gli angoli in A ,B e C di ABC e poni :
A'AC=MAC=HAC=u
Da qui segue che :
BAH=BAM=BAC-MAC=a-u
Poi:
EAB=EAC-BAC=90°-a
(1) EAD=DAB+EAB=90°+(90-a)=180°-a=b+c=ABA'
AED=AEH=EHA-EAH=EHA-EAB-BAH=90°-(90°-a)-(a-u)=u
(2) BA'A=180°-ABA'-BAA'=180°-ABA'-BAH=180°-(b+c)-(a-u)=180°-(a+b+c)+u=180°-180°+u=u=AED
In conclusione da (1) e (2) hai :
EAD=ABA'
AED=BA'A
Per costruzione è:
AD=AB
Pertanto i triangoli AED e ABA' sono congruenti e dunque è pure
BA'=AE =AC
Il quadrilatero ABA'C ,avendo i lati opposti BA' e AC paralleli e congruenti è un parallelogramma
e pertanto le sue diagonali AA' e BC s'intersecano nel loro comune punto medio M.Ne segue che AM
è la mediana di ABC relativa al lato BC.
C.V.D.
Non mi sono proprio accorto che avevi già sbrogliato la situazione.Comunque puoi fare un confronto ...
Si infatti viene un parallelogramma e alla fine viene
"Marco24":
In conclusione da (1) e (2) hai :
EAD=ABA'
AED=BA'A
Per costruzione è:
AD=AB
Pertanto i triangoli AED e ABA' sono congruenti e dunque è pure
BA'=AE =AC
Dopo tanta sofferenza ci sono arrivato.Grazie dell'aiuto!!
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