Quiz sui teoremi del calcolo differenziale
Se la funzione $ f(x) $ è derivabile nell'intervallo $ [-10;10] $ e $ AA x in ]-10;10[ $ si ha che $ |f^{\prime}(x)| <= 1/2 $ allora risulta:
a) $ |f(-1)- f(5)|<= 3 $
b) $ |f(-1)- f(5)|<= 2 $
c) $ 1
Chi mi spiega questo esercizio? Non riesco a capire a quale teorema fare riferimento, dato che è un quesito assegnato nel capitolo dei teoremi del calcolo differenziale
a) $ |f(-1)- f(5)|<= 3 $
b) $ |f(-1)- f(5)|<= 2 $
c) $ 1
Chi mi spiega questo esercizio? Non riesco a capire a quale teorema fare riferimento, dato che è un quesito assegnato nel capitolo dei teoremi del calcolo differenziale
Risposte
Suggerisco di "attaccare" il quesito per esclusione, costruendo funzioni che rispettano (da provare!) le richieste del problema.
Se consideri la funzione identicamente nulla $f(x)=0$, allora escludi automaticamente le risposte $(c)$ e $(d)$.
Infatti si avrebbe per la $(c)$ $1<0<3$ e per la $(d)$ $0<0$, e queste sono due proposizioni false!
Se consideri la funzione $f(x)=1/2 x$, allora si ha che $|f(-1)-f(5)|=3>2$ e questo esclude la risposta $(b)$
avendo fornito un controesempio.
A questo punto rimane l'unica risposta possibile, vale a dire la $(a)$.
Se consideri la funzione identicamente nulla $f(x)=0$, allora escludi automaticamente le risposte $(c)$ e $(d)$.
Infatti si avrebbe per la $(c)$ $1<0<3$ e per la $(d)$ $0<0$, e queste sono due proposizioni false!
Se consideri la funzione $f(x)=1/2 x$, allora si ha che $|f(-1)-f(5)|=3>2$ e questo esclude la risposta $(b)$
avendo fornito un controesempio.
A questo punto rimane l'unica risposta possibile, vale a dire la $(a)$.
Grazie per la risposta. Potresti gentilmente chiarirmi perchè hai considerato la funzione $ f(x)=0 $ ? A quanto ho capito dunque quei valori -1 e 5 sono valori casuali interni al dominio giusto ?
Ciao, ricordando che la derivata rappresenta la pendenza della tangente possiamo pensare che, in un certo senso, rappresenti la pendenza della curva. Se la pendenza è $<= 1/2$ allora per ogni unità di incremento sulla $x$ avremo al massimo un incremento sulla $y$ pari a $1/2$. La "distanza" tra $-1$ e $5$ è $|5-(-1)|=6$ quindi il massimo incremento sulla $y$ sarà di $3$ e questo conferma la (a).
Si deve usare il teorema di Lagrange
grazie minomic e dKant10 , siete stati chiarissimi ! 
Ne approfitto per fare un'altra domanda allora :
Per quali valori di $ h in R $ la funzione $ f(x)= (x+1)e^(-hx) $ ha un punto di minimo
a) $ h=0 $
b) $ h<0 $
c) $ AA h in R $
d) $ h>0 $
Io ho pensato che affinchè la funzione ammetta punto di minimo ( dato che la derivata è definita in tutto R) allora devo andare alla ricerca di quei punti ove la derivata si annulla :
$ f^{\prime} (x)= e^(-hx)+(-h)(x+1)e^(-hx) $
$ f^{\prime} (x)= e^(-hx)[1-h(x+1)] $
Quindi per $ h=(x+1)^-1 $ ... cosa sbaglio in questo ragionamento?
Ne approfitto per fare un'altra domanda allora :Per quali valori di $ h in R $ la funzione $ f(x)= (x+1)e^(-hx) $ ha un punto di minimo
a) $ h=0 $
b) $ h<0 $
c) $ AA h in R $
d) $ h>0 $
Io ho pensato che affinchè la funzione ammetta punto di minimo ( dato che la derivata è definita in tutto R) allora devo andare alla ricerca di quei punti ove la derivata si annulla :
$ f^{\prime} (x)= e^(-hx)+(-h)(x+1)e^(-hx) $
$ f^{\prime} (x)= e^(-hx)[1-h(x+1)] $
Quindi per $ h=(x+1)^-1 $ ... cosa sbaglio in questo ragionamento?
"@melia":
Si deve usare il teorema di Lagrange
Come? La soluzione di minomic mi piace perchè è propriamente "da quiz" in cui bisogna giocare sulla velocità. Ma mi interesserebbe anche una soluzione analitica più precisa...
Un momento forse ho capito $ (f(-1)-f(5))/ (-1-5)<= 1/2 rArr f(-1)-f(5)<=-3rArr |f(-1)-f(5)| <=3 $
"floriano94":
Per quali valori di $ h in R $ la funzione $ f(x)= (x+1)e^(-hx) $ ha un punto di minimo
a) $ h=0 $
b) $ h<0 $
c) $ AA h in R $
d) $ h>0 $
Io ho pensato che affinchè la funzione ammetta punto di minimo ( dato che la derivata è definita in tutto R) allora devo andare alla ricerca di quei punti ove la derivata si annulla :
$ f^{\prime} (x)= e^(-hx)+(-h)(x+1)e^(-hx) $
$ f^{\prime} (x)= e^(-hx)[1-h(x+1)] $
Quindi per $ h=(x+1)^-1 $ ... cosa sbaglio in questo ragionamento?
Non ha senso ricavarti $ h $ dipendente da $ x $ ... il tuo scopo è studiare il segno della derivata e cercare valori di $ h $ affinché, almeno in un intervallo sia negativa e poi positiva ( $ f $ decrescente e poi crescente)...
$ e^(-hx) $ non ci crea problemi...
$ 1-h(x+1)>0rArrh(x+1)<1 $ che diventa $ x<1/h-1 $ se $ h>0 $ , e $ x>1/h-1 $ se $ h<0 $; se $ h=0 $ la funzione è $ f(x)=x+1 $ e si vede subito che non ha punti di minimo...
Adesso non rimane che vedere per quali $ h $ la condizione che ti ho detto è soddisfatta...
Ok ho capito. Quindi per :
-$h>0$ all'aumentare della x il valore della derivata diminuisce progressivamente e passa da valore positivo a negativo (da sx verso dx;massimo)
-$ h<0 $ al diminuire della x il valore della derivata passa da positivo a negativo (da dx verso sx;minimo)
Quindi è proprio questo secondo caso che devo cosiderare. Giusto?
-$h>0$ all'aumentare della x il valore della derivata diminuisce progressivamente e passa da valore positivo a negativo (da sx verso dx;massimo)
-$ h<0 $ al diminuire della x il valore della derivata passa da positivo a negativo (da dx verso sx;minimo)
Quindi è proprio questo secondo caso che devo cosiderare. Giusto?
Osserva subito che per $h=0$ si ha $f(x)=x+1$. Questa funzione non ha punti di minimo nè assoluti nè relativi.
Quindi sono escluse le risposte $(a)$ e $(c)$.
Se invece, scegli $h=-1$ trovi facilmente un punto di minimo in $x=-2$ usano la derivata che tu hai calcolato.
Quindi la risposta corretta è la $(b)$.
In termini analitici, devi studiare il segno della derivata e discutere sui punti dove la derivata si annulla.
Avendo calcolato la derivata, quando studi il segno della derivata devi trattare la disequazione parametrica
$f'(x)>=0$.
Quindi, $f'(x)>=0$ $hArr$ $1-h(x+1)>=0$ $hArr$ $hx<=1-h$
A questo punto:
1) se $h>0$ allora si ha $hx<=1-h$ $hArr$ $x<=(1-h)/h$ e hai trovato un punto di massimo per $x=(1-h)/h$
ma nessun punto di minimo
2) se $h<0$ allora si ha $hx<=1-h$ $hArr$ $-hx>=h-1$ $hArr$ $x>=(h-1)/-h$ e hai quindi trovato minimo (assoluto)
per $h<0$. Questo ragionamento conferma la risposta $(b)$.
Quindi sono escluse le risposte $(a)$ e $(c)$.
Se invece, scegli $h=-1$ trovi facilmente un punto di minimo in $x=-2$ usano la derivata che tu hai calcolato.
Quindi la risposta corretta è la $(b)$.
In termini analitici, devi studiare il segno della derivata e discutere sui punti dove la derivata si annulla.
Avendo calcolato la derivata, quando studi il segno della derivata devi trattare la disequazione parametrica
$f'(x)>=0$.
Quindi, $f'(x)>=0$ $hArr$ $1-h(x+1)>=0$ $hArr$ $hx<=1-h$
A questo punto:
1) se $h>0$ allora si ha $hx<=1-h$ $hArr$ $x<=(1-h)/h$ e hai trovato un punto di massimo per $x=(1-h)/h$
ma nessun punto di minimo
2) se $h<0$ allora si ha $hx<=1-h$ $hArr$ $-hx>=h-1$ $hArr$ $x>=(h-1)/-h$ e hai quindi trovato minimo (assoluto)
per $h<0$. Questo ragionamento conferma la risposta $(b)$.
Grazie mille, sei stato chiarissimo.
"floriano94":
Ok ho capito. Quindi per :
-$h>0$ all'aumentare della x il valore della derivata diminuisce progressivamente e passa da valore positivo a negativo (da sx verso dx;massimo)
-$ h<0 $ al diminuire della x il valore della derivata passa da positivo a negativo (da dx verso sx;minimo)
Quindi è proprio questo secondo caso che devo cosiderare. Giusto?
Esatto!
"floriano94":
Un momento forse ho capito $ (f(-1)-f(5))/ (-1-5)<= 1/2 rArr f(-1)-f(5)<=-3rArr |f(-1)-f(5)| <=3 $
Esattamente
Ebbene,ancora una vi chiedo: Se $ f(x) $ è derivabile in $ ]a;b[$ e $ f(a)=f(b)$ allora esiste un punto $c in ]a;b[$ tale che $f^{\prime}(c)=0$ . E' vero? Io credo di no , perché il fatto che la funzione sia derivabile in $]a;b[$ implica che sia continua in $]a;b[$ ma non so nulla sugli estremi dell'intervallo che dovrebbero essere compresi nell'intervallo continuo affinchè tale proposizione sia vera.
E credi bene.
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