Quesito sui giochi equi

[Andrea902]

Salve!

Ho il seguente quesito:

Ugo e Massimiliano giocano nel modo seguente. Si lanciano due dadi, Ugo vince se la somma fa 7, Massimiliano se fa 3 oppure 4. Se non esce nessuno di questi numeri si lancia di nuovo. Si tratta di un gioco equo?

Innanzitutto un dubbio relativo al testo: quando si dice "se non esce nessuno di questi numeri", ci si riferisce all'espressione: "se non si ottengono le somme 7, 3, 4"? O ci si riferisce all'uscita dei numeri 7, 3, 4?

Poi: le possibili combinazioni affinchè la somma faccia 7 sono 3, affinchè faccia 3 è 1 e affinchè la somma faccia 4 sono 2. Complessivamente i due giocatori hanno tre possibilità a testa di vincere. Il gioco sembrerebbe equo, ma in realtà non lo è. Qualcuno riesce a spiegarmi il meccanismo? Forse non mi è chiara la definizione di gioco equo...

[Da premettere che alle Scuole Superiori non abbiamo mai affrontato questioni simili...!]

Vi ringrazio anticipatamente.

Andrea

[meursault1]

Le possibili combinazioni affinché la somma sia 7 sono:
$(1, 6); (6, 1); (2, 5); (5, 2); (3, 4); (4, 3)$

Le possibili combinazioni affinché la somma sia 3 o 4 sono:
$(1, 2); (2, 1); (1, 3); (3, 1); (2, 2)$

Come vedi Ugo è avvantaggiato,
perché le combinazioni hanno tutte la stessa probabilità di uscire
ma lui vince con una combinazione in più rispetto a Massimiliano.

[Andrea902]

Ah ok! Allora stiamo considerando le disposizioni e non le combinazioni, giusto?

Ovviamente con il ragionamento di meursault i conti tornano facilmente.

[meursault1]

"Andrea90":Ah ok! Allora stiamo considerando le disposizioni e non le combinazioni, giusto?

Parlando di calcolo combinatorio sì, sarebbero disposizioni perché conta l'ordine,
considerato che il lancio di un dado è evento indipendente dal lancio dell'altro.

[Andrea902]

Perfetto! Tutto chiaro.

Grazie mille.

Andrea

[meursault1]

"Andrea90":Perfetto! Tutto chiaro.

Grazie mille.

Di niente.
Magari qualcuno può darti una migliore formalizzazione del problema,
ammetto che il calcolo combinatorio non è proprio la mia passione
e in casi come questo spesso ricorro a un metodo "empirico".

[Andrea902]

Stai tranquillo, neppure io adoro il calcolo combinatorio! Alla fin fine era un quesito dei test di ingresso, quindi mi interessa sostanzialmente il risultato, più di un ragionamento rigoroso!

Grazie ancora!

[franced]

"meursault":Le possibili combinazioni affinché la somma sia 7 sono:
$(1, 6); (6, 1); (2, 5); (5, 2); (3, 4); (4, 3)$

Le possibili combinazioni affinché la somma sia 3 o 4 sono:
$(1, 2); (2, 1); (1, 3); (3, 1); (2, 2)$

Come vedi Ugo è avvantaggiato,
perché le combinazioni hanno tutte la stessa probabilità di uscire
ma lui vince con una combinazione in più rispetto a Massimiliano.

Ora, visto che le probabilità sono diverse, possiamo comunque far sì che il gioco
diventi equo.
Basta che

$p_1 * g_1 = p_2 *g_2$

dove $p_k$ sono le probabilità e $g_k$ i guadagni.