Quesito sugli Integrali
Buongiorno a tutti!
Ho un quesito, che riporto di seguito:
"Sia $f$ una funzione continua nell'intervallo $[a;b]$ e $I$ il suo integrale in tale intervallo: $I=int_a^b f(x)dx$. Se applichiamo al piano la trasformazione:
$\omega : (x;y)\rightarrow(kx;ky)$ con $kinRR^+$, qual è il valore del corrispondente integrale?"
Avevo pensato a scrivere la trasformata della curva di equazione $y=f(x)$ secondo $\omega $ e successivamente avrei provato con delle sostituzioni, ma non ne sto venendo a capo. Qualcuno può darmi qualche suggerimento?
Ho un quesito, che riporto di seguito:
"Sia $f$ una funzione continua nell'intervallo $[a;b]$ e $I$ il suo integrale in tale intervallo: $I=int_a^b f(x)dx$. Se applichiamo al piano la trasformazione:
$\omega : (x;y)\rightarrow(kx;ky)$ con $kinRR^+$, qual è il valore del corrispondente integrale?"
Avevo pensato a scrivere la trasformata della curva di equazione $y=f(x)$ secondo $\omega $ e successivamente avrei provato con delle sostituzioni, ma non ne sto venendo a capo. Qualcuno può darmi qualche suggerimento?
Risposte
dovrebbe essere $k^2*I$. proviamo:
sapendo che $I=F(b)-F(a)$, dove $F(x)$ è una qualsiasi primitiva della $f(x)$, il risultato dovrebbe dipende dalla linearità della funzione "integrale indefinito" e dunque della primitiva $F(x)$:
$int_(ka)^(kb)\k*f(x)dx=k*[F(x)]_(ka)^(kb)=k*[F(kb)-F(ka)]=k*[kF(b)-kF(a)]=k^2*[F(b)-F(a)]=k^2*I$.
senza la linearità, la terza uguaglianza non sarebbe valida. ricontrolla. ciao.
sapendo che $I=F(b)-F(a)$, dove $F(x)$ è una qualsiasi primitiva della $f(x)$, il risultato dovrebbe dipende dalla linearità della funzione "integrale indefinito" e dunque della primitiva $F(x)$:
$int_(ka)^(kb)\k*f(x)dx=k*[F(x)]_(ka)^(kb)=k*[F(kb)-F(ka)]=k*[kF(b)-kF(a)]=k^2*[F(b)-F(a)]=k^2*I$.
senza la linearità, la terza uguaglianza non sarebbe valida. ricontrolla. ciao.
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