Quesito ostico
Cari amici,
vi sottopongo un quesito che mi ha formulato un mio studente del quale sia io che altri colleghi siamo in difficoltà a proporre una soluzione.
Data la funzione
$f(x)=e^(x^4)/(1+x^4)$
si dimostri che è invertibile solo per $x>0$ e non per $x<=0$.
Allora io ho calcolato la derivata, trovando un punto di minimo in $x=0$. Trovo che la funzione è monotona decrescente per $x<0$, crescente per $x>0$. Calcolando i limiti agli estremi del campo di esistenza, si ottiene $+oo$ in entrambe i casi. Prima di concludere che c'è un errore nel testo e comunicarlo alla mia classe, vorrei capire se c'è qualcosa che ci sfugge.
Grazie mille a tutti.
vi sottopongo un quesito che mi ha formulato un mio studente del quale sia io che altri colleghi siamo in difficoltà a proporre una soluzione.
Data la funzione
$f(x)=e^(x^4)/(1+x^4)$
si dimostri che è invertibile solo per $x>0$ e non per $x<=0$.
Allora io ho calcolato la derivata, trovando un punto di minimo in $x=0$. Trovo che la funzione è monotona decrescente per $x<0$, crescente per $x>0$. Calcolando i limiti agli estremi del campo di esistenza, si ottiene $+oo$ in entrambe i casi. Prima di concludere che c'è un errore nel testo e comunicarlo alla mia classe, vorrei capire se c'è qualcosa che ci sfugge.
Grazie mille a tutti.
Risposte
Mah, la funzione è pari, quindi ciò che accade per a dx accade anche a sx.
Ho letto solo il testo dell'esercizio, per non essere influenzata dal tuo ragionamento, e ho fatto un po' di calcoli, gli stessi che hai fatto tu arrivando alle medesime conclusioni, tra l'altro si tratta di una funzione pari, quindi il suo comportamento è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate. In pratica se è invertibile per $x>0$, lo deve essere anche per $x<0$.
Direi che il quesito è soprattutto posto male, dovrebbe essere:
si dimostri che è invertibile solo per $x>=0$ o per $x<=0$, ma non è invertibile su tutto $RR$.
E su questo credo che siamo entrambi d'accordo.
Ciao
Amelia
Direi che il quesito è soprattutto posto male, dovrebbe essere:
si dimostri che è invertibile solo per $x>=0$ o per $x<=0$, ma non è invertibile su tutto $RR$.
E su questo credo che siamo entrambi d'accordo.
Ciao
Amelia
Appunto, sono tutte le conclusioni a cui sono arrivato io.
Il testo dell'esercizio è proprio come l'ho scritto, fotocopiato da un eserciziario (credo sia una raccolta di test di ammissione alle facoltà universitarie). Dicendo "si dimostri che è invertibile solo per $x>0$ e non per $x<0$, credo che la risposta ovvia sia: è invertibile in entrambe i tratti, ma non lo è globalmente nel suo dominio, come dice amelia.
Grazie a entrambe
Il testo dell'esercizio è proprio come l'ho scritto, fotocopiato da un eserciziario (credo sia una raccolta di test di ammissione alle facoltà universitarie). Dicendo "si dimostri che è invertibile solo per $x>0$ e non per $x<0$, credo che la risposta ovvia sia: è invertibile in entrambe i tratti, ma non lo è globalmente nel suo dominio, come dice amelia.
Grazie a entrambe
confermo anch'io
non riesco ad immaginare dove possa essersi originato l'errore nel testo
tra l'altro, la funzione data e' strettamente crescente su $[0,+oo[$ e su $]-oo, 0]$ (separatamente, s'intende). E' invertibile su ciascuno di questi intervalli, anche se in 0 l'inversa (sia del primo che del secondo pezzo) non e' derivabile
non riesco ad immaginare dove possa essersi originato l'errore nel testo
tra l'altro, la funzione data e' strettamente crescente su $[0,+oo[$ e su $]-oo, 0]$ (separatamente, s'intende). E' invertibile su ciascuno di questi intervalli, anche se in 0 l'inversa (sia del primo che del secondo pezzo) non e' derivabile
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