Quesito I.N.D.A.M. 2004
spero di aver postato nel luogo giusto....
un quesito del test INDAM del 2004 dice:
"Consideriamo i sei vertici $V1,V2,...,V6$ di un esagono regolare inscritto in un cerchio $C$. Preso un punto $P$ interno o sul bordo di $C$ e diverso da ognuno dei vertici $Vi$, consideriamo gli angoli $ViPVj$ con $i!=j$. Al variare del punto $P$, l'ampiezza del più piccolo degli angoli considerati è:
A) 0°
B) 15°
C) 30°
D) 60°
E) nessuna delle precedenti"
secondo voi da questo testo si capisce che i due vertici $i$ e $j$ devono essere sullo stesso lato? secondo me no, e quindi nella risposta ho scelto "nessuna delle precedenti". Invece la soluzione dell'INDAM dice " La risposta corretta è C. Il valore minimo si ottiene considerando il punto $P$ sulla circonferenza, e il minore dei due angoli alla circonferenza che insistono sul lato di un esagono regolare ha l'ampiezza di 30°"..
che dite? magari spiegatemi meglio che forse sbaglio io a interpretare...grazie
un quesito del test INDAM del 2004 dice:
"Consideriamo i sei vertici $V1,V2,...,V6$ di un esagono regolare inscritto in un cerchio $C$. Preso un punto $P$ interno o sul bordo di $C$ e diverso da ognuno dei vertici $Vi$, consideriamo gli angoli $ViPVj$ con $i!=j$. Al variare del punto $P$, l'ampiezza del più piccolo degli angoli considerati è:
A) 0°
B) 15°
C) 30°
D) 60°
E) nessuna delle precedenti"
secondo voi da questo testo si capisce che i due vertici $i$ e $j$ devono essere sullo stesso lato? secondo me no, e quindi nella risposta ho scelto "nessuna delle precedenti". Invece la soluzione dell'INDAM dice " La risposta corretta è C. Il valore minimo si ottiene considerando il punto $P$ sulla circonferenza, e il minore dei due angoli alla circonferenza che insistono sul lato di un esagono regolare ha l'ampiezza di 30°"..
che dite? magari spiegatemi meglio che forse sbaglio io a interpretare...grazie
Risposte
Certo, visto che se in una circonferenza corda è un lato di un esagono regolare inscritto il corrispondente angolo al centro sarà (ovviamente) 60°, pertanto il minore degli angoli alla circonferenza sarà la metà, 30°.
Francamente non mi sembra ci siano dubbi.
Francamente non mi sembra ci siano dubbi.
ho capito e grazie...ma questo considerando i due vertici $Vi$ e $Vj$ "consecutivi" (mi scuso se sbaglio il linguaggio), cioè appartenenti allo stesso lato dell'esagono, ossia corda di circonferenza. e quindi la soluzione è chiarissima. Quello che io chiedevo è se nel testo è specificato che i due vertici devono essere appartenenti allo stesso lato... a me non sembra..quindi prendendo vertici non "consecutivi" posso ottenere angoli piccoli quanto voglio..o sto sbagliando clamorosamente? prego di farmi luce...
Siano $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6$ i vertici dell'esagono regolare. Si traccino le dagonali dell'esagono, sia $O$ la loro intersezione e si prenda il punto $P$ di modo che questo appartenga alla circonferenza $Gamma$.
Ogni lato dell'esagono regolare è una corda di $Gamma$ e in quanto tale determina due archi di crconferenza disuguali: l'angolo al centro $V_ihatOV_(i+1)$ che insiste sull'arco minore vale $60°$ mentre quello che insiste sull'arco maggiore vale $300°$: in questo caso è $V_ihatPV_(i+1)=30°$
Si scelga $P$ come si vuole e lo si unisca con un vertice qualunque dell'esagono: si contino i vertici a partire da questo. Se si unisce $P$ con $V_2$ si torna al caso elementare; se si unisce $P$ con $V_3 l'angolo $hat(V_1PV_3)$ insiste sull'arco maggiore, quindi è la metà dell'angolo al centro maggiore e poichè questo vale $300°$ si ha che $hat(V_1PV_2)=150°$; se si unisce $P$ con $V_4$, allora si ottene una semicironferenza e $hat(V_1PV_4)=90°; se si unisce $P$ con $V_5$ allora l'angolo $hat(V_1PV_5)$ insiste sull'arco minore, l'angolo al centro corrispondente vale $120°$ e $hat(V_1PV_5)=60°$; se si unisce $P$ con $V_6$ si torna al caso elementare.
E' inutle considerare $P$ interno a $Gamma$: in tal caso sarebbe maggiore di qualunque angolo al centro e considerando che il minore di essi vale $60°$ allora sarebbe (come minimo) $hat(V_1PV_2)>60°$.
Ogni lato dell'esagono regolare è una corda di $Gamma$ e in quanto tale determina due archi di crconferenza disuguali: l'angolo al centro $V_ihatOV_(i+1)$ che insiste sull'arco minore vale $60°$ mentre quello che insiste sull'arco maggiore vale $300°$: in questo caso è $V_ihatPV_(i+1)=30°$
Si scelga $P$ come si vuole e lo si unisca con un vertice qualunque dell'esagono: si contino i vertici a partire da questo. Se si unisce $P$ con $V_2$ si torna al caso elementare; se si unisce $P$ con $V_3 l'angolo $hat(V_1PV_3)$ insiste sull'arco maggiore, quindi è la metà dell'angolo al centro maggiore e poichè questo vale $300°$ si ha che $hat(V_1PV_2)=150°$; se si unisce $P$ con $V_4$, allora si ottene una semicironferenza e $hat(V_1PV_4)=90°; se si unisce $P$ con $V_5$ allora l'angolo $hat(V_1PV_5)$ insiste sull'arco minore, l'angolo al centro corrispondente vale $120°$ e $hat(V_1PV_5)=60°$; se si unisce $P$ con $V_6$ si torna al caso elementare.
E' inutle considerare $P$ interno a $Gamma$: in tal caso sarebbe maggiore di qualunque angolo al centro e considerando che il minore di essi vale $60°$ allora sarebbe (come minimo) $hat(V_1PV_2)>60°$.
chiarissima la dimostrazione...scusate ma avevo fatto un errore di "lettura" a dir poco grave....non avevo realizzato che era in $P$ l'angolo da analizzare: avevo capito che era un qualunque angolo formato da due vertici e un punto....è una bestialità e me ne rendo conto, quindi ringrazio ancora di più chi ha dedicato parte del suo tempo a risolvere un mio dubbio dovuto unicamente alla mia disattenzione...ciao
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