Quesito esame di stato 2006
Salve,non riesco a risolvere il seguente quesito:
Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di
grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre
raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64a
casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa
38 g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’ inventore.
Ho capito che:
I chicchi di grano “sulla scacchiera” sono quindi in totale:
$1+ 2 + 2^2 + 2^3 + ..... + 2^63$
che rappresenta la somma di 64 termini in progressione geometrica, di ragione 2.
Ora come posso procedere?
Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di
grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre
raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64a
casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa
38 g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’ inventore.
Ho capito che:
I chicchi di grano “sulla scacchiera” sono quindi in totale:
$1+ 2 + 2^2 + 2^3 + ..... + 2^63$
che rappresenta la somma di 64 termini in progressione geometrica, di ragione 2.
Ora come posso procedere?
Risposte
Ricorda che la somma $S_n$ di una progressione geometrica ($1+q+q^2+....q^n)$ di ragione $q $ vale $S_n= (1-q^(n+1))/(1-q)$.
Io la sapevo anche così: la somma totale è $2^64 -1$
Se interessa posso provare a spiegare.
Se interessa posso provare a spiegare.
Io ho scritto la formula generale, applicandola nel caso specifico si ottiene appunto quello che hai scritto.
Mi ero volutamente limitato alla formula per non dare la pappa fatta .
Mi ero volutamente limitato alla formula per non dare la pappa fatta .
"gio73":
Io la sapevo anche così: la somma totale è $2^64 -1$
Se interessa posso provare a spiegare.
Mi potresti spiegare perché?
Sono sicuro che nel tuo libro trovi come si determina la somma di una serie geometrica.
Ecco come :
$S_(63)=1+q+q^2+.....+q^(63) $ ed allora si ha anche
$q S_(63)=q+q^2+q^3+.....q^(63)+q^(64)$ da cui sottraendo membro a membri ottieni:
$S_(63)-qS_(63) = 1-q^(64)$ e quindi :
$S_(63)=(q^(64)-1)/(q-1) $ essendo $ q $ la ragione della progressione.
Prosegui ora tu...
Ecco come :
$S_(63)=1+q+q^2+.....+q^(63) $ ed allora si ha anche
$q S_(63)=q+q^2+q^3+.....q^(63)+q^(64)$ da cui sottraendo membro a membri ottieni:
$S_(63)-qS_(63) = 1-q^(64)$ e quindi :
$S_(63)=(q^(64)-1)/(q-1) $ essendo $ q $ la ragione della progressione.
Prosegui ora tu...
"shintek20":
[quote="gio73"]Io la sapevo anche così: la somma totale è $2^64 -1$
Se interessa posso provare a spiegare.
Mi potresti spiegare perché?[/quote]
Segui le indicazioni di Camillo e vedi dove ti portano; fatto ciò provo a spiegare anche in un altro modo, se ci riesco!
[OT]
Aldilà della mera tecnica risolutiva, io credo che questo quesito sia stato pensato per fare ragionare lo studente intorno alla crescita esponenziale, e come essa, applicata a "fatti quotidiani", possa fornire risultati strabilianti ed estremamente controintuitivi. Ricordo per esempio un curioso problema che fu posto da un professore di Fisica Matematica durante un openday all'università di Pavia: egli domandò infatti quale fosse l'altezza raggiunta da una pila di fogli di carta costruita come segue: si pone dapprima un foglio per terra, poi se ne mette un altro sopra, quindi altri due, poi quattro, otto, sedici e via così, raddoppiando per quaranta operazioni. I più risposero "circa un metro".
Tu cosa risponderesti?
[/OT]
Aldilà della mera tecnica risolutiva, io credo che questo quesito sia stato pensato per fare ragionare lo studente intorno alla crescita esponenziale, e come essa, applicata a "fatti quotidiani", possa fornire risultati strabilianti ed estremamente controintuitivi. Ricordo per esempio un curioso problema che fu posto da un professore di Fisica Matematica durante un openday all'università di Pavia: egli domandò infatti quale fosse l'altezza raggiunta da una pila di fogli di carta costruita come segue: si pone dapprima un foglio per terra, poi se ne mette un altro sopra, quindi altri due, poi quattro, otto, sedici e via così, raddoppiando per quaranta operazioni. I più risposero "circa un metro".
Tu cosa risponderesti?
[/OT]
Io conoscevo un'altra cosa simile.. Se io e te facciamo questo gioco.. Tu pensi mentalmente un numero che va da 1 fino al numero degli abitanti della Terra.. E io devo indovinarlo.. Se sbaglio tu mi dici solo se il numero da te pensato è maggiore o minore di quello che ho detto io.. E io ci ritento dicendo un altro numero.. fin quando indovino.. Ci credi che riuscirei ad indovinare il numero facendo al massimo 33-34 tentativi?
Non mi trovi impreparato, caro Steph. Questo è noto in informatica come metodo di ricerca dicotomica. Del resto il metodo di dicotomia è spesso usato in Matematica (Metodo di bisezione, dimostrazione del Teorema di compattezza di base ecc...)
"Delirium":
egli domandò infatti quale fosse l'altezza raggiunta da una pila di fogli di carta costruita come segue: si pone dapprima un foglio per terra, poi se ne mette un altro sopra, quindi altri due, poi quattro, otto, sedici e via così, raddoppiando per quaranta operazioni. I più risposero "circa un metro".
Tu cosa risponderesti?
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