Quesito
Sia f una funzione due volte derivabile per $x=0$ e tale che $f(0)=0$ e $f'(0)=2$. Calcolare due volte il teorema di De L'Hopital
$lim_(x->0) ([f(x)]^2)/(sin[(3x)^2])
Ecco piu che altro nn riesco a capire il significato di una f due volte derivabile per x=0 ...
$lim_(x->0) ([f(x)]^2)/(sin[(3x)^2])
Ecco piu che altro nn riesco a capire il significato di una f due volte derivabile per x=0 ...
Risposte
Significa che $f$ è derivabile, con
derivata derivabile.
(Proprio come $sin[(3x)^2]$).
Non si potrebbe utilizzare De L'Hopital
due volte, in caso contrario.
derivata derivabile.
(Proprio come $sin[(3x)^2]$).
Non si potrebbe utilizzare De L'Hopital
due volte, in caso contrario.
ma per x=0 cosa vuol dire ?
"Imad":
ma per x=0 cosa vuol dire ?
vuol dire che e' derivabile 2 volte in x=0
come si comporta negli altri punti la f(x) non viene specificato...potrebbe anche non essere continua...
la derivabilita' e' , in prima istanza, una proprieta' 'puntuale'.
mi sa che mi sono allargato pero' il concetto dovrebbe essere abbast. corretto.
ciao
fammi un esempio di funzione derivabile due volte in x=0
Ad esempio qualsiasi polinomio in $x$. Prendi ad esempio
$f(x)=x^7+5x^2-2x+3$ da cui $f'(x) = 7x^6+10x-2$ e $f''(x)=42x^5+10$ e si ha $f'(0)=3$ e $f''(0)=10$
Ma anche molte funzioni trigonometriche (e loro inverse) godono della stessa proprietà. Ad esempio per la funzione $cosx$
$f(x)=cosx$ da cui $f'(x)=-senx$ e $f''(x)=-cosx$ e si ha $f'(0)=0$ e $f''(0)=-1$
Anche gli esponenziali fanno parte della stessa famiglia
$f(x)=e^x$ da cui $f'(x)=e^x$ e $f''(x)=e^x$ e si ha $f'(0)=1$ e $f''(0)=1$.
Insomma, chi piú ne ha piú ne metta...
(in realtà tutte le funzioni che ho presentato sono derivabili infinite volte su tutto $RR$).
$f(x)=x^7+5x^2-2x+3$ da cui $f'(x) = 7x^6+10x-2$ e $f''(x)=42x^5+10$ e si ha $f'(0)=3$ e $f''(0)=10$
Ma anche molte funzioni trigonometriche (e loro inverse) godono della stessa proprietà. Ad esempio per la funzione $cosx$
$f(x)=cosx$ da cui $f'(x)=-senx$ e $f''(x)=-cosx$ e si ha $f'(0)=0$ e $f''(0)=-1$
Anche gli esponenziali fanno parte della stessa famiglia
$f(x)=e^x$ da cui $f'(x)=e^x$ e $f''(x)=e^x$ e si ha $f'(0)=1$ e $f''(0)=1$.
Insomma, chi piú ne ha piú ne metta...
(in realtà tutte le funzioni che ho presentato sono derivabili infinite volte su tutto $RR$).
y=x
Forse Imad chiede un esempio di funzione derivabile 2 volte in $x=0 $ ma non 3 volte..
data la funzione:
g(x)=
0 per x<0
1 per x>0
sia
f(x) ottenuta integrando 3 volte g(x)
f(x) sara' derivabile 2 volte ma non 3 in x=0
g(x)=
0 per x<0
1 per x>0
sia
f(x) ottenuta integrando 3 volte g(x)
f(x) sara' derivabile 2 volte ma non 3 in x=0
ok è importante sapere che la funzione è derivabile due volte per usare De L'Hopital due volte .. ma è utile sapere che è due volte derivabile per per x=0
Insomma come lo risolvereste voi quell'esercizio ?
Insomma come lo risolvereste voi quell'esercizio ?
ok è importante sapere che la funzione è derivabile due volte per usare De L'Hopital due volte .. ma è utile sapere che è due volte derivabile per per x=0
Insomma come lo risolvereste voi quell'esercizio ?
Insomma come lo risolvereste voi quell'esercizio ?
"Imad":
ok è importante sapere che la funzione è derivabile due volte per usare De L'Hopital due volte .. ma è utile sapere che è due volte derivabile per per x=0
È importante sapere che è derivabile due volte in $x=0$ perché il limite è calcolato proprio per $x->0$. Se la funzione fosse derivabile due volte ovunque, tranne che in $x=0$ allora non potresti applicare la regola di De l'Hopital.
Risulta:
hehehehe era il punto che mi mancava ... !!!!!!! che è derivabile due volte per x=0 è una condizione neccessaria per applicare il teorema di De L'Hopital ... .. e che solitamente quando faccio questo teorema nn penso alle sua ipotesi ... 
Grz mille
Grz mille
"Imad":
e che solitamente quando faccio questo teorema nn penso alle sua ipotesi ...
Neanch'io, se è per questo...
Buono studio!
Cozza Taddeo
Imad ha scritto:
ok è importante sapere che la funzione è derivabile due volte per usare De L'Hopital due volte .. ma è utile sapere che è due volte derivabile per per x=0
È importante sapere che è derivabile due volte in x=0 perché il limite è calcolato proprio per x→0. Se la funzione fosse derivabile due volte ovunque, tranne che in x=0 allora non potresti applicare la regola di De l'Hopital.
Risulta:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
scusa come fai a nascondere il testo??
"ELWOOD":
scusa come fai a nascondere il testo??
Beh, è semplice, è una magia: te la insegnano al corso base di aritmanzia a Hogwarts
...In realtà basta mettere il testo tra [Spoiler] e [/Spoiler](ho utilizzato il campo codice solo per evitare che le due scritte tra parentesi fossero interpretate).
Grazie Harry Potter!!
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