Quesito
Nella piazza di un comune si può pattinare sul ghiaccio dalle 15 a mezzanotte. L'ingresso costa 7 euro e il noleggio dei pattini (non obbligatori) costa 2.5 euro. L'incasso complessivo di una giornata è stato esattamente di $1000 $ euro. Sapendo che i pattinatori sono stati un numero dispari, quante sono le possibili soluzioni?
a)3
b)4
c)5
d) più di 5.
Ho provato a risolverlo così. Sia $y$ il numero di persone che hanno noleggiato i pattini e pagato l'ingresso e sia $x$ il # di coloro che hanno pagato l'ingresso senza noleggiare i pattini. Allora:
$\{(1000=7x+9.5y), (x+y=2n+1):} => \{(x=-396-2+7.6n), (y=397.2-5.6n) :}$
Deve essere $-396.2+7.6n>0 => n>=53$[nota]lo prendo intero perché $n$ per me è un numero naturale[/nota] e $397.2-5.6n>0 => n<=70$.
Quindi in teoria ci sarebbero 19 possibilità, ma $n$ deve soddisfare anche il requisito di rendere entrambe le espressioni intere[nota]ho notato che non ci sono stati $n$ che rendevano intera un'espressione senza rendere intera l'altra, è solo una coincidenza?[/nota]; ora, io le ho contate letteralmente dalla 53-esima alla 70-esima e mi sembra siano 3, però mi rendo conto di aver risolto il problema con un po' troppa forza bruta. C'era un modo più intelligente di procedere? Intanto vi chiedo se la mia soluzione sia corretta.
a)3
b)4
c)5
d) più di 5.
Ho provato a risolverlo così. Sia $y$ il numero di persone che hanno noleggiato i pattini e pagato l'ingresso e sia $x$ il # di coloro che hanno pagato l'ingresso senza noleggiare i pattini. Allora:
$\{(1000=7x+9.5y), (x+y=2n+1):} => \{(x=-396-2+7.6n), (y=397.2-5.6n) :}$
Deve essere $-396.2+7.6n>0 => n>=53$[nota]lo prendo intero perché $n$ per me è un numero naturale[/nota] e $397.2-5.6n>0 => n<=70$.
Quindi in teoria ci sarebbero 19 possibilità, ma $n$ deve soddisfare anche il requisito di rendere entrambe le espressioni intere[nota]ho notato che non ci sono stati $n$ che rendevano intera un'espressione senza rendere intera l'altra, è solo una coincidenza?[/nota]; ora, io le ho contate letteralmente dalla 53-esima alla 70-esima e mi sembra siano 3, però mi rendo conto di aver risolto il problema con un po' troppa forza bruta. C'era un modo più intelligente di procedere? Intanto vi chiedo se la mia soluzione sia corretta.
Risposte
Per me sono due: $135+55, 125+125$
Io ho trovato valori interi per entrambe le equazioni in $n=57$, $n=62$ e $n=67$ (entrambi compresi tra 53 e 70, rispettando quindi il vincolo che ho trovato), poi non so se abbia sbagliato qualcosa nella risoluzione.
Corrispondono, rispettivamente, alle seguenti coppie $(x,y)$: $(37, 78)$, $(75, 50)$, $(113, 22)$. Ricordo che le $x$ sono quelli che hanno pagato solo $7$, le $y$ quelli che hanno pagato 9.5 (ingresso + pattini)
Corrispondono, rispettivamente, alle seguenti coppie $(x,y)$: $(37, 78)$, $(75, 50)$, $(113, 22)$. Ricordo che le $x$ sono quelli che hanno pagato solo $7$, le $y$ quelli che hanno pagato 9.5 (ingresso + pattini)
Sì, hai ragione, ho confuso importo con numero di pattini.
Le mie soluzioni corrispondono alle tue due ultime.
Le mie soluzioni corrispondono alle tue due ultime.
Concordo con i risultati dati, ma trovo che i calcoli sono più semplici se con $x$ si indica il totale dei pattinatori; non cambia la definizione di $y$, che sono quanti hanno noleggiato i pattini, pagando ciascuno altri $5/2$ di euro. Otteniamo l'equazione
$7x+5/2y=1000$
che dice che $y$ deve eaaere pari ed $x$ è multiplo di 5. Posto quindi $y=2y_1; x=5x_1$ e semplificando :
$7x_1+y_1=200->y_1=200-7x_1$
Deve essere $y>=0$, quindi
$2(200-7x_1)>=0->x_1<=200/7=28,57->x_1<=28$
Deve anche essere $x>=y$, quindi
$5x_1>=2(200-7x_1)->x_1>=400/19=21,05->x_1>=22$
E' richiesto che $x_1$ sia dispari e perciò i suoi valori possibili sono 23, 25, 27, in corrispondenza ai quali le coppie $(x,y)$ sono $(115,78),(125,50), (135, 22)$.
$7x+5/2y=1000$
che dice che $y$ deve eaaere pari ed $x$ è multiplo di 5. Posto quindi $y=2y_1; x=5x_1$ e semplificando :
$7x_1+y_1=200->y_1=200-7x_1$
Deve essere $y>=0$, quindi
$2(200-7x_1)>=0->x_1<=200/7=28,57->x_1<=28$
Deve anche essere $x>=y$, quindi
$5x_1>=2(200-7x_1)->x_1>=400/19=21,05->x_1>=22$
E' richiesto che $x_1$ sia dispari e perciò i suoi valori possibili sono 23, 25, 27, in corrispondenza ai quali le coppie $(x,y)$ sono $(115,78),(125,50), (135, 22)$.
La tua soluzione mi sembra più agile della mia, grazie giammaria!
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