Quesiti vari e semplici [just for fun]
Vista la tranquillità di questa sezione in questo periodo, approfitto per scrivere qualcosa.
1) Determinare per via elementare il minimo della funzione
$g(x)=x^2+1+frac{4}{x^2+1}$
2) Calcolare l'esatto valore di
$log(tan1°)+log(tan2°)+...+log(tan88°)+log(tan89°)$
3) Sia $f(x)$ una funzione derivabile nell'intervallo $[0;2]$ e dotata di derivata seconda in $(0;2)$.
Inoltre risulta, per ogni $x in (0;2)$
$f(0)=f'(0)=0$ e $|f''(x)|<3$
Provare che
$|f(x)|<12 \quad\quad forall x in [0,2]$
Ciao a tutti, e buon proseguimento d'estate
1) Determinare per via elementare il minimo della funzione
$g(x)=x^2+1+frac{4}{x^2+1}$
2) Calcolare l'esatto valore di
$log(tan1°)+log(tan2°)+...+log(tan88°)+log(tan89°)$
3) Sia $f(x)$ una funzione derivabile nell'intervallo $[0;2]$ e dotata di derivata seconda in $(0;2)$.
Inoltre risulta, per ogni $x in (0;2)$
$f(0)=f'(0)=0$ e $|f''(x)|<3$
Provare che
$|f(x)|<12 \quad\quad forall x in [0,2]$
Ciao a tutti, e buon proseguimento d'estate
Risposte
per caso al 2 il risultato è zero?
"francescodd":
per caso al 2 il risultato è zero?
Questo puoi verificarlo con un qualsiasi calcolatore, comunque sì, è zero.
Interessa però il procedimento.
si puo scrivere come ln($(tan1xtan2xtan3....tan89)$)
tan 45=1
$tan46xtan44$=$(tan45+tan1)-:(tan45xtan1)$ x $(tan45-tan1)-:$(1+$tan45xtan1$)$$=$((1+tan1)/(1-tan1)x(1-tan1)/(1+tan1))$=1
$tan47xtan43$=1
.....
$tan89xtan1$=1
ln($(1x1x1x1...x1)$)=0
e un casino come l' ho scritta. se ho sbagliato postami la tua soluzione cosi confronto. grazie ciao
tan 45=1
$tan46xtan44$=$(tan45+tan1)-:(tan45xtan1)$ x $(tan45-tan1)-:$(1+$tan45xtan1$)$$=$((1+tan1)/(1-tan1)x(1-tan1)/(1+tan1))$=1
$tan47xtan43$=1
.....
$tan89xtan1$=1
ln($(1x1x1x1...x1)$)=0
e un casino come l' ho scritta. se ho sbagliato postami la tua soluzione cosi confronto. grazie ciao
"francescodd":
e un casino come l' ho scritta. se ho sbagliato postami la tua soluzione cosi confronto. grazie ciao
In effetti non si capisce un granché, comunque basta sapere che
$tanalpha*tan(90°-alpha)=1$
ho visto come l' hai risolta. è lo stesso(solo che il tuo è capibile) grazie ciao
ciao puoi postare x favore il procedimento del terzo? grazie ciao
il primo,poichè la $x$ è sempre positiva, il minimo sarà quando vale zero. E quindi $g(x)=5$. Per la terza ci provo dopo mangiato...
"kekko89":
il primo,poichè la $x$ è sempre positiva, il minimo sarà quando vale zero. E quindi $g(x)=5$. Per la terza ci provo dopo mangiato...
$x=+-1 => g(x)=4$.
non so se è corretto ma ho provato cosi:
$-3$-<$f''(x)$-<$3$
$-3(x-0)$-<$f'(x)-f'(0)$-<$3(x-0)$ $\Rightarrow$ ho usato questa relazione m(b-a)$-<$$\int_a^bf(x)dx$$-<$M(b-a) dove $a=0$ e $b=x$
$-3x$-<$f'(x)$-<$3x$
$-3x(x-0)$-<$f(x)-f(0)$-<$3x(x-0)$
$3x^2$<$f(x)$-<$ $3x^2$$
-$3x^2$ tra 0 e 2 assume come valore minimo e massimo -12 e 0, mentre $3x^2$ tra 0 e 2 assme come valore minimo e massimo 0 e 12 quindi
-12$-<$f(x)$-<$12
postate la vostra cosi vedo se è corrretta ciao
$-3$-<$f''(x)$-<$3$
$-3(x-0)$-<$f'(x)-f'(0)$-<$3(x-0)$ $\Rightarrow$ ho usato questa relazione m(b-a)$-<$$\int_a^bf(x)dx$$-<$M(b-a) dove $a=0$ e $b=x$
$-3x$-<$f'(x)$-<$3x$
$-3x(x-0)$-<$f(x)-f(0)$-<$3x(x-0)$
$3x^2$<$f(x)$-<$ $3x^2$$
-$3x^2$ tra 0 e 2 assume come valore minimo e massimo -12 e 0, mentre $3x^2$ tra 0 e 2 assme come valore minimo e massimo 0 e 12 quindi
-12$-<$f(x)$-<$12
postate la vostra cosi vedo se è corrretta ciao
giusto,hai ragione..non avevo considerato che la x fosse anche al denominatore.
@ Steven
Ci sveli le soluzioni dei quesiti 1 e 3? Magari anche in spoiler...
Ci sveli le soluzioni dei quesiti 1 e 3? Magari anche in spoiler...
Sì, scusate il ritardo.
1)
Consideriamo la relazione seguente, che è sempre vera
$(sqrt(x^2+1)-\frac{2}{sqrt(x^2+1)})^2>=0$
Svolgendo il quadrato
$(x^2+1)+4/(x^2+1)-4>=0$
si ottiene facilmente dunque
$(x^2+1)+4/(x^2+1)>=4$
Altrimenti si poteva usare subito la AM-GM
$frac{a^2+b^2}{2}>=ab$ con $a=sqrt(x^2+1)$ e $b=\frac{2}{sqrt(x^2+1)}$
Il valore minimo è 4.
2)
Ho pensato così:
per il Teorema di Lagrange esiste un valore $a$ con $0 tale che
$frac{f'(a)-f'(0)}{a-0}=frac{f'(a)}{a}=f''(x_0)$ quindi date le ipotesi si ha
$-3 ovvero, poiché $0, si può avere al massimo
$-6
Usando nuovamente lo stesso teorema, diciamo che $0
$frac{f(k)-f(0)}{k-0}=f'(x_1)$ ma poiché abbiamo visto prima che derivata prima è confinata tra -6 e 6, vediamo che
$-6 ovvero
$-12.
Che ne pensate?
Ciao.
1)
Consideriamo la relazione seguente, che è sempre vera
$(sqrt(x^2+1)-\frac{2}{sqrt(x^2+1)})^2>=0$
Svolgendo il quadrato
$(x^2+1)+4/(x^2+1)-4>=0$
si ottiene facilmente dunque
$(x^2+1)+4/(x^2+1)>=4$
Altrimenti si poteva usare subito la AM-GM
$frac{a^2+b^2}{2}>=ab$ con $a=sqrt(x^2+1)$ e $b=\frac{2}{sqrt(x^2+1)}$
Il valore minimo è 4.
2)
Ho pensato così:
per il Teorema di Lagrange esiste un valore $a$ con $0
$frac{f'(a)-f'(0)}{a-0}=frac{f'(a)}{a}=f''(x_0)$ quindi date le ipotesi si ha
$-3
$-6
Usando nuovamente lo stesso teorema, diciamo che $0
$frac{f(k)-f(0)}{k-0}=f'(x_1)$ ma poiché abbiamo visto prima che derivata prima è confinata tra -6 e 6, vediamo che
$-6
$-12
Che ne pensate?
Ciao.
Ottimo. Complimenti. Belle soluzioni.
Quanto all'esercizio 3, mi pare corretta anche la soluzione di francescodd (pagina dietro).
Ciao.
Ciao.
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