Quesiti matematica da terza prova
Salve a tutti .. ho un piccolo problema non so come risolvere questi esercizi!
1 Si provi che se AB=3 , AC=2 e l angolo in B è uguale a 30° allora esistono 2 triangoli che soddisfano questa condizione.
2 Sia r la retta y=ax tangente al grafico y=e^x . Qual è la misura in gradi e primi sessagesimali dell'angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse?
Per favore se sapete come svolgerli potete cortesemente spiegarmeli?
Aggiunto 1 giorni più tardi:
grazie mille!!
1 Si provi che se AB=3 , AC=2 e l angolo in B è uguale a 30° allora esistono 2 triangoli che soddisfano questa condizione.
2 Sia r la retta y=ax tangente al grafico y=e^x . Qual è la misura in gradi e primi sessagesimali dell'angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse?
Per favore se sapete come svolgerli potete cortesemente spiegarmeli?
Aggiunto 1 giorni più tardi:
grazie mille!!
Risposte
Ciao, mi spiace, ma non sono riuscito a trovare una spiegazione bella pulita pulita, però sono riuscito a risolvere comunque i tuoi esercizi.
Ho fatto così:
1) L'ipotesi è che AB=3, AC=2 e l'angolo in B è 30° e quel che vogliamo provare è che esistono due triangoli che soddisfano questa relazione.
Bene, ho disegnato un triangolo rettangolo con gli angoli di 60°, 30° e 90°. Ponendo l'angolo in B=30° e su quello da 60° ci ho messo il vertice A e all'angolo retto ho messo la lettera H. Poi ho prolungato la retta su cui giacciono B e H.
Questo è stato lo spunto che mi ha dato l'idea per dimostrare quello che ci serve.
Sappiamo che AH=3/2 perchè questo triangolo rettangolo è la metà di un triangolo equilatero, dunque AH è diverso da AC. Poi, per vedere come può "mettersi" AC rispetto ad AB, mi sono disegnto una circonferenza con centro in A di raggio=AC=2.
Possiamo dire che la retta su cui giace il segmento BH è secante la circonferenza perchè AH, che è la distanza del centro dalla retta è minore di 2 (infatti è uguale a 3/2). Per definizione una secante incontra una circonferenza in soli due punti, questi due punti sono i due possibili vertici dei due triangoli. questo perchè da B possiamo prolungare il segmento collegato con C di quanto vogliamo senza però modificare l'angolo tra AB e BC.
Dunque, dato ci sono due punti di intersezione, possiamo dire AC "si può mettere" solo nelle due posizioni che permettono a C di essere uno dei punti di intersenzione. Inoltre tieni presente che l'angolo tra AB e AC deve essere minore di 180° ( in realtà di 150°, perchè 30° li hai già usati per l'angolo in B e la somma degli angoli interni di ogni triangolo è per forza 180°).
E questo è dimostrato.
2) Allora, sappiamo che y=e^x ha una tangente in ogni punto e l'inclinazione di ogni tangente in ogni punto è data dalla derivata di y in quel punto. Inoltre in ogni punto la tangente è una e una sola! Sappiamo che quel valore "a" è il valore della derivata di y=e^x in un certo punto x. (la derivata di y=e^x è y'=e^x) RIcapitolando:
Inoltre ax=e^x perchè le due "linee" delle funzioni si toccano, hanno un punto in comune! Si noti che per x=1 la derivata è "e" che è uguale ad a, quindi a=e per x=1. Verifichiamo se ax=e^x si risolve se a=e e se x=1:
Quindi questa relazione è verificata! Dunque la nostra "a" è veramente e.
Possiamo dire tutto questo perchè la tangente è unica in un punto della funzione y=e^x e se per a=e abbiamo una retta del tipo y=ax che nel punto x=1 ha lo stesso valore della funzione y=e^x nello stesso punto, sapendo che la derivata di questa funzione che esprime la sua inclinazione è esattamente "e" in x=1, allora y=ex è la tangente della funzione nel punto x=1.
Comunque, sappiamo poi che tan(alpha)=a, così puoi ricavare il valore dell'angolo che ti interessa.
So che non è molto rigoroso come metodo, però sono di fretta :P Ciao. Spero almeno di averti aiutato in qualche modo.
Ho fatto così:
1) L'ipotesi è che AB=3, AC=2 e l'angolo in B è 30° e quel che vogliamo provare è che esistono due triangoli che soddisfano questa relazione.
Bene, ho disegnato un triangolo rettangolo con gli angoli di 60°, 30° e 90°. Ponendo l'angolo in B=30° e su quello da 60° ci ho messo il vertice A e all'angolo retto ho messo la lettera H. Poi ho prolungato la retta su cui giacciono B e H.
Questo è stato lo spunto che mi ha dato l'idea per dimostrare quello che ci serve.
Sappiamo che AH=3/2 perchè questo triangolo rettangolo è la metà di un triangolo equilatero, dunque AH è diverso da AC. Poi, per vedere come può "mettersi" AC rispetto ad AB, mi sono disegnto una circonferenza con centro in A di raggio=AC=2.
Possiamo dire che la retta su cui giace il segmento BH è secante la circonferenza perchè AH, che è la distanza del centro dalla retta è minore di 2 (infatti è uguale a 3/2). Per definizione una secante incontra una circonferenza in soli due punti, questi due punti sono i due possibili vertici dei due triangoli. questo perchè da B possiamo prolungare il segmento collegato con C di quanto vogliamo senza però modificare l'angolo tra AB e BC.
Dunque, dato ci sono due punti di intersezione, possiamo dire AC "si può mettere" solo nelle due posizioni che permettono a C di essere uno dei punti di intersenzione. Inoltre tieni presente che l'angolo tra AB e AC deve essere minore di 180° ( in realtà di 150°, perchè 30° li hai già usati per l'angolo in B e la somma degli angoli interni di ogni triangolo è per forza 180°).
E questo è dimostrato.
2) Allora, sappiamo che y=e^x ha una tangente in ogni punto e l'inclinazione di ogni tangente in ogni punto è data dalla derivata di y in quel punto. Inoltre in ogni punto la tangente è una e una sola! Sappiamo che quel valore "a" è il valore della derivata di y=e^x in un certo punto x. (la derivata di y=e^x è y'=e^x) RIcapitolando:
[math]y=e^x[/math]
[math]y=ax[/math]
[math]y'=e^x=a[/math]
Inoltre ax=e^x perchè le due "linee" delle funzioni si toccano, hanno un punto in comune! Si noti che per x=1 la derivata è "e" che è uguale ad a, quindi a=e per x=1. Verifichiamo se ax=e^x si risolve se a=e e se x=1:
[math]e1=e^1 \to e=e[/math]
Quindi questa relazione è verificata! Dunque la nostra "a" è veramente e.
Possiamo dire tutto questo perchè la tangente è unica in un punto della funzione y=e^x e se per a=e abbiamo una retta del tipo y=ax che nel punto x=1 ha lo stesso valore della funzione y=e^x nello stesso punto, sapendo che la derivata di questa funzione che esprime la sua inclinazione è esattamente "e" in x=1, allora y=ex è la tangente della funzione nel punto x=1.
Comunque, sappiamo poi che tan(alpha)=a, così puoi ricavare il valore dell'angolo che ti interessa.
So che non è molto rigoroso come metodo, però sono di fretta :P Ciao. Spero almeno di averti aiutato in qualche modo.
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