Quesiti
1) Non ho ben capito la differenza tra punti isolati, punti di accumulazione.
Tutti gli elementi di N sono isolati (0, 1, 2, 3); i punti di accumulazione darebbero ad es (1,1 , 1,2, 1,3, etc). Giusto?
2)Teorema di unicità del limite: per assurdo ammettiamo che esistano due limiti finiti distinti $l$ e $l_1$. Si prenda in considerazione il numero positivo arbitrariamente piccolo $epsilon/2$, tale che $epsilon < |l_1 - l|$ (questo perché la differenza dei due limiti è: $l_1-l=epsilon/2 + epsilon/2$ ???) . Ora, si ha un intorno $I$ di c per cui risulti: $|f(x)-l|
$|l_1-l| <= |f(x)-l|+ |f(x)-l_1|$ -> $|l_1-l|< epsilon$
Non comprendo quest'ultimo passaggio..
3) Dimostrare che $lim_(x->o) ((a^x-1)/x) = log a$
$a^x-1=t ->a^x=1+t -> x= log_a (1+t)
Sostituendo x=0 si ha anche t=0. Il limite diventa così:
$lim_(t->0) (t/(log_a(1+t)))= log a$
Perché alla fine diventa log a???
Grazie mille
Tutti gli elementi di N sono isolati (0, 1, 2, 3); i punti di accumulazione darebbero ad es (1,1 , 1,2, 1,3, etc). Giusto?
2)Teorema di unicità del limite: per assurdo ammettiamo che esistano due limiti finiti distinti $l$ e $l_1$. Si prenda in considerazione il numero positivo arbitrariamente piccolo $epsilon/2$, tale che $epsilon < |l_1 - l|$ (questo perché la differenza dei due limiti è: $l_1-l=epsilon/2 + epsilon/2$ ???) . Ora, si ha un intorno $I$ di c per cui risulti: $|f(x)-l|
$|l_1-l| <= |f(x)-l|+ |f(x)-l_1|$ -> $|l_1-l|< epsilon$
Non comprendo quest'ultimo passaggio..
3) Dimostrare che $lim_(x->o) ((a^x-1)/x) = log a$
$a^x-1=t ->a^x=1+t -> x= log_a (1+t)
Sostituendo x=0 si ha anche t=0. Il limite diventa così:
$lim_(t->0) (t/(log_a(1+t)))= log a$
Perché alla fine diventa log a???
Grazie mille
Risposte
Non vorrei mettervi fretta, però domani ho interrogazione e vorrei capirle bene ste cose... 
Grazie
Grazie
Punto 1.
Tutti gli elementi di $NN$ sono punti isolati: ok.
Il tuo esempio sui punti di accumulazione non mi è chiaro ma non mi sembra proprio corretto.
Dato un insieme E , si dice che $x_0 $ è punto di accumulazione per E se in ogni intorno $U_0 $ di $x_0 $ cadono infiniti punti di E.
Esempio : insieme E = $( x in RR : x=(n+1)/n)$ ; quindi E è costituito dai punti : $2,3/2,4/3,5/4,.....100/99,......(n+1)/n....$.
L'unico punto di accumulazione è $ 1 $ ($=lim_(n rarr oo) (n+1)/n$).
Infatti prendi $epsilon > 0 $ ; considera l'intorno destro di 1 , dato da $(1,1+epsilon ) $ ; nell'intorno sinistro di 1 non ci sono punti di E.
Verifichiamo che in $(1,1+epsilon)$ cadono infiniti punti di E.
$1< (n+1)/n < 1+epsilon $
da cui
$(n+1)/n > 1 $ verificata $AA n in NN $
$(n+1)/n < 1+epsilon $ da cui $n+1 < n+n epsilon $ e quindi
$n > 1/epsilon $ .
In conclusione $AA n >1/epsilon $ i punti dell'insieme E cadono in$ ( 1, 1+epsilon ) $.
E questo vale $ AA epsilon > 0 $
Quindi 1 èpunto di accumulazione .
Tutti gli elementi di $NN$ sono punti isolati: ok.
Il tuo esempio sui punti di accumulazione non mi è chiaro ma non mi sembra proprio corretto.
Dato un insieme E , si dice che $x_0 $ è punto di accumulazione per E se in ogni intorno $U_0 $ di $x_0 $ cadono infiniti punti di E.
Esempio : insieme E = $( x in RR : x=(n+1)/n)$ ; quindi E è costituito dai punti : $2,3/2,4/3,5/4,.....100/99,......(n+1)/n....$.
L'unico punto di accumulazione è $ 1 $ ($=lim_(n rarr oo) (n+1)/n$).
Infatti prendi $epsilon > 0 $ ; considera l'intorno destro di 1 , dato da $(1,1+epsilon ) $ ; nell'intorno sinistro di 1 non ci sono punti di E.
Verifichiamo che in $(1,1+epsilon)$ cadono infiniti punti di E.
$1< (n+1)/n < 1+epsilon $
da cui
$(n+1)/n > 1 $ verificata $AA n in NN $
$(n+1)/n < 1+epsilon $ da cui $n+1 < n+n epsilon $ e quindi
$n > 1/epsilon $ .
In conclusione $AA n >1/epsilon $ i punti dell'insieme E cadono in$ ( 1, 1+epsilon ) $.
E questo vale $ AA epsilon > 0 $
Quindi 1 èpunto di accumulazione .
Grazie mille Camillo... per gli altri due quesiti chi si propone?
"ExMarco88":
quindi si somma membro a membro:
$|f(x)-l|
c'e' qualcosa che non qadra. sei sicuro di aver riportato correttamente?
ops! togli di < epsilon/2 e quadra
N.3
Considera che $lim_(t rarr 0)( log_a(1+t))/t = lim_(t rarr 0) (1/t)*log_a(1+t)= lim_(t rarr 0) (1+t)^(1/t) = log_a e = 1/(log_e a) $ .
Considera che $lim_(t rarr 0)( log_a(1+t))/t = lim_(t rarr 0) (1/t)*log_a(1+t)= lim_(t rarr 0) (1+t)^(1/t) = log_a e = 1/(log_e a) $ .
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