Quando posso dire che una funzione è derivabile?

[jacktammer]

come faccio a stabilire che una funzione è derivabile in un certo intervallo? limitato e chiuso ovviamente..

grazie, che domani c'ho il compito

[Raptorista1]

Per il poco che ne so, la definizione di derivata dice che una funzione definita in un intervallo $(a, b)$ si definisce derivabile in $x_0 in (a, b)$ se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale $lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$.

non so dirti però se ci sono teoremi o regole apposta

[@melia]

Una funzione per essere derivabile in un intervallo chiuso e limitato deve essere continua con derivata continua in tutti i punti dell'intervallo.
Se per calcolare la derivata usi la definizione (limite del rapporto incrementale) allora puoi anche cercare di calcolarla direttamente, senza provare la continuità, tanto se la funzione non fosse continua il limite andrebbe direttamente a $oo$
Se invece, come si fa di solito, usi le formule di derivazione allora devi prima controllare la continuità della funzione.

[_Tipper]

Volendo si potrebbe anche definire una funzione derivabile in un intervallo chiuso e limitato e con derivata non continua dappertutto, ma è una cosa un po' artificiosa, non dovrebbe capitarti nel compito.

[Raptorista1]

@ Tipper di cosa stai parlando?

[_Tipper]

Di una funzione di questo genere... Prendi $a, b \in \mathbb{R}$, con $a < 0 < b$, e $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ definita da

$f(x) = \{(0, "se " x = 0),(x^2 \sin(\frac{1}{x}), "altrimenti"):}$

La funzione $f$ è derivabile in $[a,b]$ però la derivata prima non è continua in $0$.

[Raptorista1]

Bello! Grazie della spiegazione

[Danying]

"@melia":Una funzione per essere derivabile in un intervallo chiuso e limitato deve essere continua con derivata continua in tutti i punti dell'intervallo.
Se per calcolare la derivata usi la definizione (limite del rapporto incrementale) allora puoi anche cercare di calcolarla direttamente, senza provare la continuità, tanto se la funzione non fosse continua il limite andrebbe direttamente a $oo$
Se invece, come si fa di solito, usi le formule di derivazione allora devi prima controllare la continuità della funzione.

Non Apro un altro topic, essendocene già uno di egual fattura;

@melia , scusa, naturalmente avendo un ipotetica funzione di cui dobbiamo calcolarne la derivibilità nell'intervallo relativamente grande $(a,b)$ con $a$e$b$ compresi;

non ho ben chiaro cosa intendi per "cercare di calcolarla direttamente ecc... " e il resto del chiarimento da te dato, che ho evidenziato in grassetto.

Non capisco in quale punto dobbiamo calcolare "direttamente" per capire che è derivabile in tutto l'intervallo....
se appunto usiamo il metodo del rapporto incrementale lo dovremmo fare in un ipotetico $X_0$ di accumulazione;
non ho chiaro l'unione che hai fatto te , tra la derivata in un punto e la derivata in un intervallo .
Sicuramente non ti ho capito io, ma cortesemente potresti chiarire questa parte nello specifico... perchè secondo me non è molto chiara.

grazie mille !

[@melia]

Per calcolare una derivata si può procedere in due modi:
1. calcolarla tramite il limite del rapporto incrementale (quello che nel post citato ho chiamato: calcolarla direttamente)
2. usare le formule di derivazione.

Se calcoli la derivata utilizzando le formule di derivazione devi verificare prima la continuità della funzione, se invece usi il limite del rapporto incrementale questo non è necessario, in quanto l'esistenza del limite finito ti garantisce anche la continuità.