Quando la funzione g di y=g(f(x)) è una funzione è limitata?

[carezzina]

Non riesco a capire una cosa...Una funzione quando si dice limitata?
Per esempio la funzione $y=cot(x)$ è limitata nell'intervallo [1,2], ma è illimitata in [-1,1]?

e la funzione $g$ di $y=g[f(x)]=(x-3)/sqrt(5)$ dove $f(x)=x$ è continua e limitata per esempio in [-1,1]?
Qualcuno mi potrebbe chiarire le idee?

[_prime_number]

In generale una funzione $f$ si dice limitata nell'intervallo $I$ se esiste una costante positiva $M$ tale per cui $\forall x\in I, |f(x)|\leq M$. Per vederlo basta disegnare (o pensare) il grafico, segnare sull'asse $x$ l'intervallo $I$ e vedere se la funzione lì dentro va all'infinito (positivo o negativo) oppure assume solo valori finiti (in questo caso soltanto è limitata).
Esempi:
1. $f(x)=sin x$ è limitata in qualunque intervallo, anche non finito, dato che $\forall x\in\mathbb{R}$ si ha $|sin x|\leq 1$ ($M=1$).
2. $f(x)=x^2$ è limitata su qualunque intervallo con estremi FINITI.
3. $y=tan x$ è limitata ad esempio sull'intervallo $[0, \pi/3]$ ma non su $[0,\pi/2]$ (perché per $x\to \pi/2$ si ha $tan x\to +\infty$).

Ora riprova a pensare da sola ai tuoi esempi e se hai problemi posta qui.

Paola

[carezzina]

Grazie Paola...e se io ho questa funzione in 2 variabili:
$y=g(x)=(x-3)/n$ dove $n=1,2,3,...$,
questa funzione (che evidentemente non è limitata su tutto l'asse dei reali) la posso definire continua?

[_prime_number]

La tua mi sembra una successione,
$g_n(x)=\frac{x-3}{n}$.
Fissato $n$, la funzione $g_n$ è certamente continua (è una retta!). Inoltre è limitata sugli intervalli limitati reali. Naturalmente non è globalmente limitata in $\mathbb{R}$.

Paola