Qualche "giochino" per un test...help!! :)
ciao a tutti...
potete darmi una mano con qualche esercizio di un test che devo sostenere tra qualche giorno? ci sono dei tipi di esercizi che proprio non capisco come vadano affrontati..qualche esempio:
1. determinare tutte le radici reali dell'equazione $x^10 - x^8 +8x^6 -24x^4 + 32x^2 -48 = 0$
2. trovare le soluzioni intere non negative del sistema:
$m^3 - n^3 - q^3 = 3mnq$
$m^2 =2(n + q)$
3. determinare tutte le coppie (m,n) di interi positivi per cui risulta a sua volta intero il numero:
$60sqrt(m^(n^5-n))$ (non riesco a farlo venire bene con il tool del forum.. è radice 60-esima di...)
4. determinare le ultime due cifre del numero $5^(5^5)$
mi basta qualche dritta di risoluzione, non importa che ci perdiate tempo!
grazie mille a tutti
potete darmi una mano con qualche esercizio di un test che devo sostenere tra qualche giorno? ci sono dei tipi di esercizi che proprio non capisco come vadano affrontati..qualche esempio:
1. determinare tutte le radici reali dell'equazione $x^10 - x^8 +8x^6 -24x^4 + 32x^2 -48 = 0$
2. trovare le soluzioni intere non negative del sistema:
$m^3 - n^3 - q^3 = 3mnq$
$m^2 =2(n + q)$
3. determinare tutte le coppie (m,n) di interi positivi per cui risulta a sua volta intero il numero:
$60sqrt(m^(n^5-n))$ (non riesco a farlo venire bene con il tool del forum.. è radice 60-esima di...)
4. determinare le ultime due cifre del numero $5^(5^5)$
mi basta qualche dritta di risoluzione, non importa che ci perdiate tempo!
grazie mille a tutti
Risposte
1) poni $z=x^2$, poi diventa di grado dispari.
3) Se $n=60k$, allora ok. Poi poni $n^4\equiv 1 (mod60)$.
4) $5^n$, con $n \ge 2$, ha le ultime due cifre $25$.
3) Se $n=60k$, allora ok. Poi poni $n^4\equiv 1 (mod60)$.
4) $5^n$, con $n \ge 2$, ha le ultime due cifre $25$.
grazie della risposta! qualche dubbio però..
1) c'avevo pensato, ma rimane di quinto grado! come procedo poi?
2) non ho capito bene il procedimento
3) okei, l'ho dimostrato..
grazie!
ps: posso aggiungere un altro quesito?
Rimane in piedi il quesito 2, quello del sistema.. non ricordo come si fanno i sistemi o le equazioni in cui ci sono troppe incognite (come nell'es 2, 3 equazioni in 2 incognite...) forse con le matrici? Sulla falsa riga di quello c'è anche questo:
5) trovare le soluzioni intere dell'equazione: $x^3 + 2y^3 = 4z^3$
grazie a tutti
1) c'avevo pensato, ma rimane di quinto grado! come procedo poi?
2) non ho capito bene il procedimento
3) okei, l'ho dimostrato..
grazie!
ps: posso aggiungere un altro quesito?
Rimane in piedi il quesito 2, quello del sistema.. non ricordo come si fanno i sistemi o le equazioni in cui ci sono troppe incognite (come nell'es 2, 3 equazioni in 2 incognite...) forse con le matrici? Sulla falsa riga di quello c'è anche questo:
5) trovare le soluzioni intere dell'equazione: $x^3 + 2y^3 = 4z^3$
grazie a tutti
Per il primo, osservi che $2$ è una soluzione, dopo aver posto $z=x^2$, poi ti rimane un polinomio di quarto grado, che non ha radici reali.
5) $x$ è pari, quindi $8x'^3+2y^3=4z^3 \implies 4x'^3+y^3=2z^3$. Procedendo con questo ragionamento anche per $y$ e $z$ ti trovi con $x'^3+2y'^3=4z'^3$, quindi, per la discesa infinita, le uniche soluzioni intere sono $x=y=z=0$.
ps: questo thread è più appropriato in Matematica Discreta
5) $x$ è pari, quindi $8x'^3+2y^3=4z^3 \implies 4x'^3+y^3=2z^3$. Procedendo con questo ragionamento anche per $y$ e $z$ ti trovi con $x'^3+2y'^3=4z'^3$, quindi, per la discesa infinita, le uniche soluzioni intere sono $x=y=z=0$.
ps: questo thread è più appropriato in Matematica Discreta
okei, mi torna...
per il 2 hai idee?
e per il 4 ho visto che le cifre che chiede sono le ultime 5! come si fa in quel caso? o_O alle prime due c'ero arrivato, ma a 5...
grazie davvero
ps: scusate se ho postato nella sezione sbagliata, è che non avevo molto bene idea di dove farlo..
per il 2 hai idee?
e per il 4 ho visto che le cifre che chiede sono le ultime 5! come si fa in quel caso? o_O alle prime due c'ero arrivato, ma a 5...
grazie davvero
ps: scusate se ho postato nella sezione sbagliata, è che non avevo molto bene idea di dove farlo..
Se sono le ultime $5$ cifre che devi trovare, allora devi trovare $a$ in $5^{5^5} \equiv a (mod 10^5)$. Applichi il teorema cinese dei resti e trovi $5^{5^5} \equiv 0 (mod 5^5)$ e $5^{5^5} = 5^{2^4*195}*5^5 \equiv 5^5 \equiv 21 (mod 2^5)$ e ora basta fare i calcoli finali.
Da che test hai preso questi problemi? Per curiosità..
Da che test hai preso questi problemi? Per curiosità..
Per il sistema, serve questa bella identità $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=1/2(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)$. Applicandola sulla prima equazione, si ottiene $(m-n-q)((m+n)^2+(m+q)^2+(n-q)^2)=0$.
Quindi o $m-n-q=0$ o $(m+n)^2+(m+q)^2+(n-q)^2=0$. Nel primo caso, si ha $m=n+q=m^2/2$ e risolvendo ottieni $(m,n,q)=(0,0,0),(2,1,1),(2,2,0),(2,0,2)$. Poi poni anche l'altra uguale a zero e, dato che si cercano le soluzione non negative, le soluzioni appena elencate sono le uniche.
Quindi o $m-n-q=0$ o $(m+n)^2+(m+q)^2+(n-q)^2=0$. Nel primo caso, si ha $m=n+q=m^2/2$ e risolvendo ottieni $(m,n,q)=(0,0,0),(2,1,1),(2,2,0),(2,0,2)$. Poi poni anche l'altra uguale a zero e, dato che si cercano le soluzione non negative, le soluzioni appena elencate sono le uniche.
"TomSawyer":
Se sono le ultime $5$ cifre che devi trovare, allora devi trovare $a$ in $5^{5^5} \equiv a (mod 10^5)$. Applichi il teorema cinese dei resti e trovi $5^{5^5} \equiv 0 (mod 5^5)$ e $5^{5^5} = 5^{2^4*195}*5^5 \equiv 5^5 \equiv 21 (mod 2^5)$ e ora basta fare i calcoli finali.
Da che test hai preso questi problemi? Per curiosità..
Scusate se mi intrometto, ma anch'io sto facendo questi esercizi e non riesco proprio a capire questo procedimento
.. Non potresti scrivere i passaggi intermedi e come funziona bene il teorema cinese del resto? Se hai tempo...Grazie 
Comunque i problemi sono dalla prova di ingegneria del Sant'Anna, se li ho riconosciuti.. (Kilin mi sa che domani ci vedremo
)
Studiamo il sistema di congruenze modulo $2^5$ e $5^5$, dato che $\gcd(2^5,5^5)=1$ e $2^5*5^5=10^5$. Si ha $5^{5^5}=5^{195*\varphi(2^5)}*5^5 \equiv 1*5^5 \equiv 21 (\mod 2^5)$ e anche $5^{5^5} \equiv 0 (\mod 5^5)$. Ora, per il teorema cinese dei resti, la soluzione (unica) è $x=21*s_1+0*s_2=21*s_1$ modulo $10^5$, con $s_1$ l'inverso di $10^5/2^5=5^5$ modulo $2^5$ moltiplicato per $5^5$, cioè $29$, applicando l'algoritmo esteso di Euclide. Ora ottieni $x=21*29*5^5 \equiv 3125 (\mod 10^5)$. Quindi $03125$ sono le ultime cinque cifre di $5^{5^5}$.
"TomSawyer":
Studiamo il sistema di congruenze modulo $2^5$ e $5^5$, dato che $\gcd(2^5,5^5)=1$ e $2^5*5^5=10^5$. Si ha $5^{5^5}=5^{195*\varphi(2^5)}*5^5 \equiv 1*5^5 \equiv 21 (\mod 2^5)$ e anche $5^{5^5} \equiv 0 (\mod 5^5)$. Ora, per il teorema cinese dei resti, la soluzione (unica) è $x=21*s_1+0*s_2=21*s_1$ modulo $10^5$, con $s_1$ l'inverso di $10^5/2^5=5^5$ modulo $2^5$ moltiplicato per $5^5$, cioè $29$, applicando l'algoritmo esteso di Euclide. Ora ottieni $x=21*29*5^5 \equiv 3125 (\mod 10^5)$. Quindi $03125$ sono le ultime cinque cifre di $5^{5^5}$.
Grazie mille!
Anche se non credo proprio che domani riuscirò a fare cose di questo tipo
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