Qualche quesito per i maturandi
1) Calcolare l'equazione della retta tangente al grafico di $f(x)=sinx$ nel punto di ascissa $x=pi/3$;
2) Verificare che $f(x)=root3x^2$ ha una cuspide nell'origine;
3) Per quale valore di $m in R$ la retta $y=mx$ è tangente al grafico di $y=e^x$ ?;
4) Determinare per quali valori di $alpha in R$,la seguente funzione è derivabile in $x=0$ e abbia derivata ivi continua:
$f(x)={(x^alphasin(1/x),x>0),(0,x<=0):}$;
5) Usando l'identità $x=e^logx$, $x>0$,calcolare la derivata di $f(x)=x^x$;
6) Generalizzando l'esercizio precedente trovare una formula per la derivata di
$h(x)=[g(x)]^f(x)$
dove g è una funzione positiva. Applicarla per calcolare la derivata di $f(x)=(1/x^2)^(x^2)$;
7) Dimostrare che $lim_(x->+infty)tgx$ non esiste.
2) Verificare che $f(x)=root3x^2$ ha una cuspide nell'origine;
3) Per quale valore di $m in R$ la retta $y=mx$ è tangente al grafico di $y=e^x$ ?;
4) Determinare per quali valori di $alpha in R$,la seguente funzione è derivabile in $x=0$ e abbia derivata ivi continua:
$f(x)={(x^alphasin(1/x),x>0),(0,x<=0):}$;
5) Usando l'identità $x=e^logx$, $x>0$,calcolare la derivata di $f(x)=x^x$;
6) Generalizzando l'esercizio precedente trovare una formula per la derivata di
$h(x)=[g(x)]^f(x)$
dove g è una funzione positiva. Applicarla per calcolare la derivata di $f(x)=(1/x^2)^(x^2)$;
7) Dimostrare che $lim_(x->+infty)tgx$ non esiste.
Risposte
Non male il 4) ...
7) Esiste certamente un intorno di $+infty$ in cui la funzione assume infinite volte tutti i valori compresi tra $+infty$ e $-infty$.
1) il punto è (Pi/3,sqrt(3)/2)
il coef. angolare è m=cos(Pi/3)=1/2 e la tangente è:
y-sqrt(3)/2=1/2*(x-Pi/3)
3) sia (x0,f(x0)) il punto di tg
allora m=e^(x0)
la retta tg è allora y=e^(x0)(x-x0)+e^(x0)=e^(x0)*x+e^(x0)(1-x0)
dal confronto com y=mx si ha che deve essere e^(x0)(1-x0)=0 e cioè x0=1, da cui m=e(numero di nepero) e la tg è
y=e*x
5)
y=x^x=e^(x*lnx) per cui y'=(x*lnx)'*(x^x)=(lnx+1)*x^x
6)
In generale
y'=(f*ln(g))' *(g^f)=(f'*ln(g)+f*g'/g)*(g^f)
nell'esempio f=x^2 e g=x^(-2) per cui
f'=2x, g'=-2*x^(-3) sostituendo si trova
y'=(x^-2)^(x^2)*(-2x+2xln(x^-2))
il coef. angolare è m=cos(Pi/3)=1/2 e la tangente è:
y-sqrt(3)/2=1/2*(x-Pi/3)
3) sia (x0,f(x0)) il punto di tg
allora m=e^(x0)
la retta tg è allora y=e^(x0)(x-x0)+e^(x0)=e^(x0)*x+e^(x0)(1-x0)
dal confronto com y=mx si ha che deve essere e^(x0)(1-x0)=0 e cioè x0=1, da cui m=e(numero di nepero) e la tg è
y=e*x
5)
y=x^x=e^(x*lnx) per cui y'=(x*lnx)'*(x^x)=(lnx+1)*x^x
6)
In generale
y'=(f*ln(g))' *(g^f)=(f'*ln(g)+f*g'/g)*(g^f)
nell'esempio f=x^2 e g=x^(-2) per cui
f'=2x, g'=-2*x^(-3) sostituendo si trova
y'=(x^-2)^(x^2)*(-2x+2xln(x^-2))
"giuseppe87x":
7) Esiste certamente un intorno di $+infty$ in cui la funzione assume infinite volte tutti i valori compresi tra $+infty$ e $-infty$.
un intorno di infinito?
come lo definisci?
"Giusepperoma":
[quote="giuseppe87x"]7) Esiste certamente un intorno di $+infty$ in cui la funzione assume infinite volte tutti i valori compresi tra $+infty$ e $-infty$.
un intorno di infinito?
come lo definisci?[/quote]
è quello che in effetti mi stavo chiedendo anche io
Un qualsiasi intorno del tipo $(b;+infty)$.
La funzione oscilla continuamente tra $+infty$ e $-infty$, non può avere limite.
La funzione oscilla continuamente tra $+infty$ e $-infty$, non può avere limite.
ah, quindi un intorno può anche essere infinito, non lo sapevo
Si, infatti ho detto intorno di $+infty$.
ok...
allora, scusa la pignoleria,
e' "un qualsiasi intervallo del tipo (b, +inf)...
comunque, per quanto quello che tu dici sia indiscutibilmente vero, non credo che sia una risposta soddisfacente; mi spiego: come fai ad affermare che la f assume infinite volte tutti i valori reali? va dimostrato....
io procederei cosi'
si osserva che f interseca infinite volte la retta y=1
se ne conclude che se il limite di f esiste, deve essere 1
si osserva che f interseca infinite volte la retta di equazione y=0
se ne conclude che se il limite di f esiste, deve essere 0
queste due considerazioni contrastano (in virtu' del teorema dell'unicita' del limite), quindi il limite di f non esiste
che dici?
allora, scusa la pignoleria,
e' "un qualsiasi intervallo del tipo (b, +inf)...
comunque, per quanto quello che tu dici sia indiscutibilmente vero, non credo che sia una risposta soddisfacente; mi spiego: come fai ad affermare che la f assume infinite volte tutti i valori reali? va dimostrato....
io procederei cosi'
si osserva che f interseca infinite volte la retta y=1
se ne conclude che se il limite di f esiste, deve essere 1
si osserva che f interseca infinite volte la retta di equazione y=0
se ne conclude che se il limite di f esiste, deve essere 0
queste due considerazioni contrastano (in virtu' del teorema dell'unicita' del limite), quindi il limite di f non esiste
che dici?
Dico che va bene.
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