Qual è il numero successivo di un numero reale?
Salve a tutti,
è corretto affermare che:
- nei numeri naturali, il successivo di un numero è il numero stesso più una unità
- nei numeri razionali il successivo di un numero esiste ma non può essere determinato
- nei numeri reali il successivo esiste ma non può essere determinato
è corretto?
grazie mille
è corretto affermare che:
- nei numeri naturali, il successivo di un numero è il numero stesso più una unità
- nei numeri razionali il successivo di un numero esiste ma non può essere determinato
- nei numeri reali il successivo esiste ma non può essere determinato
è corretto?
grazie mille
Risposte
La funzione “successivo” esiste solo per i numeri interi.
grazie per la risposta. Sebbene la mia domanda sia mal formulata,
è corretto dire che il successivo di un numero reale esiste ma non è determinabile?
è corretto dire che il successivo di un numero reale esiste ma non è determinabile?
"alphabetagamma_76":
grazie per la risposta. Sebbene la mia domanda sia mal formulata,
è corretto dire che il successivo di un numero reale esiste ma non è determinabile?
I numeri reali sono ordinabili, dati due numeri si può dire qual è il maggiore, ma il concetto di successivo esiste solo negli interi, quindi in $RR$ non esiste il successivo.
Il primo problema, a mio modo di vedere, è che non è chiaro cosa intendi con "successivo". Per esempio, io posso decidere che per "successivo" di un numero $x$ si intende $x+1$ e con questa definizione ovviamente qualsiasi numero reale ha un successivo. Ma naturalmente questa non è la definizione che hai in mente. Probabilmente, la definizione che hai in mente è la seguente:
(*) "il successivo del numero $x$ è il minore tra i numeri maggiori di $x$".
Prendiamo per buona questa definizione. Se ne hai in mente un'altra, puoi dircelo.
Se per "numero" intendi numero intero allora il successivo di ogni intero esiste (rispetto alla definizione (*)), come sai. Se invece per "numero" intendi numero razionale o reale allora il successivo di un numero $x$ non esiste mai. La dimostrazione è semplice, è per contraddizione: se per assurdo esistesse il successivo di $x$, chiamiamolo $y$, allora definiamo $z:=(x+y)/2$. Puoi verificare facilmente che $x < z < y$ (usando il fatto che $x < y$) e quindi non è vero che $y$ è il minor numero maggiore di $x$, perché ho appena costruito un numero $z$ che è maggiore di $x$ e allo stesso tempo minore di $y$. Siamo quindi giunti a una contraddizione, dimostrando che il successivo di $x$ non esiste.
(*) "il successivo del numero $x$ è il minore tra i numeri maggiori di $x$".
Prendiamo per buona questa definizione. Se ne hai in mente un'altra, puoi dircelo.
Se per "numero" intendi numero intero allora il successivo di ogni intero esiste (rispetto alla definizione (*)), come sai. Se invece per "numero" intendi numero razionale o reale allora il successivo di un numero $x$ non esiste mai. La dimostrazione è semplice, è per contraddizione: se per assurdo esistesse il successivo di $x$, chiamiamolo $y$, allora definiamo $z:=(x+y)/2$. Puoi verificare facilmente che $x < z < y$ (usando il fatto che $x < y$) e quindi non è vero che $y$ è il minor numero maggiore di $x$, perché ho appena costruito un numero $z$ che è maggiore di $x$ e allo stesso tempo minore di $y$. Siamo quindi giunti a una contraddizione, dimostrando che il successivo di $x$ non esiste.
Grazie ancora. Provo a riformulare il quesito: data una retta reale, e, stabilito un punto (ad es 1),
esiste un punto successivo? ovviamente si. Ma è determinabile? La mia risposta è no, ma chiedo conferma
Perché potrei ovviamente sbagliarmi.
esiste un punto successivo? ovviamente si. Ma è determinabile? La mia risposta è no, ma chiedo conferma
Perché potrei ovviamente sbagliarmi.
Non esiste un punto successivo. Non capisco perché tu sia convinto/a che debba esistere.
no, non sono convinto, infatti sto chiedendo. Intuitivamente pensavo che, su una retta reale, fissato un qualsiasi punto, sebbene non determinabile, esistesse il numero successivo. Grazie del chiarimento
Ma cosa intendi con "successivo" esattamente?
Eh, beh, è quella la domanda.
Penso sia convinto che "dopo" un numero ce ne debba essere un altro ed in mezzo ai due ci debba essere il "vuoto".
Purtroppo con infiniti e infinitesimi le cose non vanno così lisce ...
Penso sia convinto che "dopo" un numero ce ne debba essere un altro ed in mezzo ai due ci debba essere il "vuoto".
Purtroppo con infiniti e infinitesimi le cose non vanno così lisce ...
@OP
Quanti punti ci sono in una retta?
Quanti in una semirette?
Quanti in un segmento lungo 1m?
Quanti in uno lungo 1cm?
1mm
...
1 micron?
1 nanometro?
...
Quanti punti ci sono in una retta?
Quanti in una semirette?
Quanti in un segmento lungo 1m?
Quanti in uno lungo 1cm?
1mm
...
1 micron?
1 nanometro?
...
"megas_archon":
Ma cosa intendi con "successivo" esattamente?
infatti... ho capito che il termine "successivo" non ha alcun senso nella retta reale...
"alphabetagamma_76":
Provo a riformulare il quesito: data una retta reale, e, stabilito un punto (ad es 1),
esiste un punto successivo? ovviamente si.
E perché "ovviamente sì"?
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